Question

Alguém me ajuda!Sabendo que cos x= 3/8, calcule o valor de E= sec x-cossec x/ 1-cotgx

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Isacosta, que a resolução é mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento e, como informamos nos comentários acima, vamos considerar que o arco "x" seja do 1º quadrante, local em que todas as funções trigonométricas são positivas.

i) Tem-se: sabendo-se que cos(x) = 3/8, calcule a seguinte expressão "E":

E = [sec(x) - cossec(x)] / [1 - cotg(x)]

ii) Veja: primeiro vamos encontrar o valor de sen(x) pela primeira relação fundamental da trigonometria, que é esta:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se cos(x) por "3/8", teremos:

sen²(x) + (3/8)² = 1 ----- desevolvendo, teremos:

sen²(x) + 9/64 = 1 ---- vamos passar "9/64" para o 2º membro, ficando:

sen²(x) = 1 - 9/64 ---- mmc, no 2º membro é "64". Assim, utilizando-se apenas no 2º membro teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador);

sen²(x) = (64*1 - 1*9) / 64

sen²(x) = (64 - 9)/64

sen²(x) = (55)/64 --- ou apenas:

sen²(x) = 55/64 ----- isolando "sen(x)", teremos:

sen(x) = ± √(55/64) --- note que isto é equivalente a:

sen(x) = ± √(55)/√(64) ---- como √(64) = 8, ficaremos com:

sen(x) = ± √(55) / 8 ---- mas como consideramos que o arco "x" é do 1º quadrante, então consideraremos apenas a raiz positiva e igual a:

sen(x) = √(55) / 8 <--- Este é o valor do sen(x).

iii) Agora vamos para a expressão "E", que é esta:

E = [sec(x) - cossec(x)] / [1 - cotg(x)]

Agora veja que:

sec(x) = 1/cos(x) --> 1/(3/8) = 8/3 <--- Este é o valor de sec(x)

cossec(x) = 1/sen(x) ---> 1/[√(55) / 8 ] ---> 8/√(55) ---> racionalizando, ficaremos com: 8*√(55)/√(55)*√(55) ---> 8√(55)/55 <-- Este é o valor de cossec(x).

cotg(x) = cos(x)/sen(x) = (3/8) / [√(55) / 8] ---> (3/8)*(8/√(55) ---> 3*8/8*√(55) ----> cotg(x) = 24/8√(55) ---> simplificando-se tudo por "8": ---> 3/√(55) ---> racionalizando, teremos:

cotg(x) = 3*√(55)/√(55)*√(55) ----> 3√(55) / 55 <-- Este é o valor de cotg(x).

Agora vamos levar para a nossa expressão "E" cada função que encontramos aí em cima. Assim:

E = [8/3 - 8√(55)/55] / [1 - 3√(55) / 55] ---- agora veja: mmc no numerador será 3*55 = 165; e o mmc no denominador será "55". Assim, utilizando cada um dos mmc (no numerador e no denominador), teremos (você já sabe como utilizar o mmc, pois já informamos isso anteriormente, quando estávamos encontrando o valor de sen(x), lembra?):

E = {[55*8 - 3*8√(55)]/165} / [55*1 - 1*3√(55)]/55 ---- desenvolvendo, temos:

E = {[440 - 24√(55)]/165} / [55 - 3√(55)]/55 ---- note que temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim, fazendo isso teremos:

E = {[440 - 24√(55)]/165} * [55/(55 - 3√55) ---- desenvolvendo, ficamos:

E = {[440 - 24√(55)*55} / [165*(55 - 3√(55)] ---- simplificando-se numerador e denominador por "55", iremos ficar apenas com:

E = [440 - 24√(55)] / [3*(55 - 3√(55)] --- no numerador vamos colocar "8" em evidência, pois tanto o "440" como o "24" são divisíveis por "8". Assim, teremos:

E = 8*[55 - 3√(55)] / 3*[55 - 3√(55)] ---- simplificando-se "55-3√(55) do numerador com "55-3√(55) do denominador, iremos ficar apenas com:

E = 8/3 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor da expressão "E" da sua questão, após fazermos todas as simplificações possíveis.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.