Question

Alguem me ajuda ! resolve e explica pff

Answer 1

Olá.

Primeiro vamos usar o pitágoras para achar a altura do cone:

$g^{ 2 }=h^{ 2 }+r^{ 2 }\\ (2r)^{ 2 }=h^{ 2 }+r^{ 2 }\\ 4r^{ 2 }=h^{ 2 }+r^{ 2 }\\ h=r\sqrt { 3 }$

Perceba que os triângulos que estão dentro da esfera são semelhantes, então podemos fazer:

$\frac { (h-R) }{ R } =\frac { h }{ r } \\ \\ \frac { (r\sqrt { 3 } -R) }{ R } =\frac { r\sqrt { 3 } }{ r } \\ \\ \\ \\ r\sqrt { 3 } -R=R\sqrt { 3 } \\ r\sqrt { 3 } =R\sqrt { 3 } +R\\ r\sqrt { 3 } =R(\sqrt { 3 } +1)\quad (*\sqrt { 3 } )\\ 3r=R\sqrt { 3 } (\sqrt { 3 } +1)\\ \\ r=\frac { R\sqrt { 3 } (\sqrt { 3 } +1) }{ 3 }$

Agora é só calcular o volume:

$V=\frac { Ab*H }{ 3 }$

Substituindo o que já achamos vamos ter:$V=\frac { \pi r^{ 2 }*r\sqrt { 3 } }{ 3 } \\ \\ V=\frac { \pi r^{ 3 }\sqrt { 3 } }{ 3 } \\ \\ V=\frac { \pi (\frac { R\sqrt { 3 } (\sqrt { 3 } +1) }{ 3 } )^{ 3 }*\sqrt { 3 } }{ 3 } \\ \\ V=\frac { \frac { 9\pi R^{ 3 }(\sqrt { 3 } +1)^{ 3 } }{ 27 } }{ 3 } \\ \\ V=\frac { 9\pi R^{ 3 }(\sqrt { 3 } +1)^{ 3 } }{ 81 }$

Vamos simplificar isso aí ainda mais:

$V=\frac { \pi R^{ 3 }(\sqrt { 3 } +1)^{ 3 } }{ 9 }$