Question

Alguém me ajuda a resolver essa questão?
8°) Calcule o valor da expressão (2log de 3 na base 5 menos 5log de 3 na base 2)^2011
Segue abaixo a foto da questão

Answer 1

Vamos começar utilizando a propriedade da mudança de base dos logaritmos para reescrever um dos expoentes logarítmicos:

$log_{_3}5~=~\dfrac{log_{_2}5}{log_{_2}3}~=~log_{_2}5~.~\dfrac{1}{log_{_2}3}~=~log_{_2}5~.~\dfrac{log_{_2}2}{log_{_2}3}~=~\boxed{log_{_2}5~.~log_{_3}2}$

Substituindo na expressão, temos:

$\left(2^{log_{_2}5~.~log_{_3}2}~-~5^{log_{_3}2}\right)^{2011}\\\\\\\left(\left(2^{log_{_2}5}\right)^{log_{_3}2}~-~5^{log_{_3}2}\right)^{2011}\\\\\\Utilizando~a~propriedade~~b^{log_{_b}a}~=~a\\\\\\\left(\left(5\right)^{log_{_3}2}~-~5^{log_{_3}2}\right)^{2011}\\\\\\(0)^{2011}\\\\\\\boxed{~0~}$