Question

(Álgebra Linear) Os vetores ~v1 = (1, −2, 3) e ~v2 = (0, 5, −3) são linearmente independentes. Aumente {~v1, ~v2} até uma base de R3.
Alguém me mostra como resolver essa questão por favor? :(

Answer 1

A base tem uma relação direta com a dimensão do espaço vetorial, o teorema do completamento nos mostra que se temos um espaço vetorial de dimensão n, e temos um conjunto L.I com r elementos, sendo r < n, então temos um vetor que é L.I em relação aos anteriores, que pode ser adicionado a esse conjunto até que r = n e o conjunto seja uma base desse espaço.

Ou seja, se temos menos elementos no conjunto do que a dimensão do espaço, podemos completar ele até que ele seja uma base.

Mas qual é a dimensão do $\large\mathbb{R}^3$, obviamente é 3, e quantos elementos temos no conjunto? 2, então temos que achar qual completa esse conjunto, lembrando que ele deve ser obrigatoriamente L.I.

Para verificar se um conjunto de 3 vetores é L.I basta fazer o determinante da matriz com esses 3 vetores, se diferente de 0, é L.I.

Exemplo:

               $\Large\vec{u}, \vec{v} \text{ e } \vec{w} \text{ s\~ao L.I} \Leftrightarrow\det\left [ \begin{array}{c c c}u_1 & u_2 & u_3 &\\v_ 1 & v_2 & v_3 &\\w_1 & w_2 & w_3&\end{array}\right ] \ne 0$

Ou seja,

                                       $\Large \det\left [ \begin{array}{c c c}1 & -2 & 3 \\0 & 5 & -3 \\w_1 & w_2 & w_3\end{array}\right ] \ne 0$

Usando Laplace podemos desevolver para:

       $\Largew_1 \left | \begin{array}{c c}-2 & 3 \\5 & -3 \end{array} \right | -w_2 \left | \begin{array}{c c}1 & 3 \\0 & -3 \end{array} \right | +w_3 \left | \begin{array}{c c}1 & -2 \\0 & 5 \end{array} \right | \ne 0$

Então temos:

                 $\Large\begin{aligned}-9w_1 + 3w_2 + 5w_3& \ne 0 \\ \\-9w_1 &\ne - 3w_2 - 5w_3 \\ \\9w_1 &\ne 3w_2 +5w_3 \\ \\w_1 &\ne \dfrac{3w_2 +5w_3}{9} \\ \\\end{aligned}$

Essa é a nossa única restrição para que o terceiro vetor seja L.I, então temos que o terceiro vetor pode ser qualquer um menos:

                                         $\Large\lambda \left(\dfrac{8}{9},\ 1,\ 1 \right), \ \lambda \in \mathbb{R}$

Logo, não podemos completar com o vetor, por exemplo.

                                                   $\Large\left(8,\ 9,\ 9 \right)$

Porém o vetor

                                                   $\Large\left(1,\ 1,\ 1 \right)$

É um candidato para completar a base.

Espero ter ajudado

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