Question

Ache o preço mais baixo pelo qual um produto seria fornecido segundo a seguinte equação de oferta

$x^2+4x-4p+20=0$

Answer 1

Olá, Avicci.

$x^2+4x-4p+20=0$

Resolvendo por Bhaskara:

$\Delta = 16 - 4(-4p+20) = 16+16p-80=16p-64=16(p-4)\Rightarrow\\\\\sqrt\Delta=4\sqrt{p-4}\Rightarrow$

$x = \frac{-4\pm4\sqrt{p-4}}{2}=-2\pm2\sqrt{p-4}$

Cabe agora algumas considerações:
1) x esta definido apenas para p > 4, em razão da raiz quadrada;
2) a solução $x=-2-2\sqrt{p-4}$ não interessa, pois é sempre negativa e não existe produção negativa.

A solução, portanto, é $x=-2+2\sqrt{p-4},$ com p>4.

Para obter o preço p mínimo, devemos reescrever a solução como sendo uma função p(x):

$2\sqrt{p-4}=x+2\Rightarrow \sqrt{p-4}=\frac x 2+1\Rightarrow p-4=(\frac{x}{2}+1)^2\Rightarrow\\\\ p(x)=\frac{x^2}4+x+1+4=\frac{x^2}4+x+5$

p(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isto quer dizer que seu ponto crítico é um mínimo. Derivemos p(x) e igualemos a zero para procurar seu ponto crítico, que sabemos ser um mínimo:

$p'(x)=0\Rightarrow \frac{x}2+1=0\Rightarrow\,x=-2<0$

Como x < 0 significa uma produção negativa (impossível), então o preço mínimo ocorre em x = 0:

$p(0)=0+0+5=5$

O preço mínimo, portanto, é de R$ 5,00.