Question

Ache a soma dos 80 primeiros termos da P.A em que :

2a1+a2=-1

3a4 - a5 = 21

Answer 1

A primeira coisa a se fazer aqui é colocar todos os termos como uma soma de $a_1$ e r. Usando a fórmula do termo geral, $a_n = a_1 + r(n-1)$, encontramos que $a_2 = a_1 + r$, $a_4 = a_1 + 3r$ e que $a_5 = a_1 + 4r$. Agora vamos substituir esses valores nas equações acima:

$2a_1 + a_2 = -1 \Rightarrow 2a_1 + a_1 + r = -1 \Rightarrow \underline{3a_1 + r = -1} \\ 3a_4 - a_5 = 21 \Righarrow 3(a_1 + 3r) - (a_1 + 4r) = 21 \Rightarrow 3a_1 + 9r - a_1 - 4r = 21 \Rightarrow \\ \Rightarrow \underline{2a_1 + 5r = 21}$

Temos, então, um sistema para resolver (as duas equações dele são as que estão sublinhadas). Resolvendo-o encontramos que r=5 e $a_1=-2$.
Agora temos que calcular a soma propriamente dita. Para se calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA existem duas fórmulas:

$1- \ S_n = n.a_1 + \frac{r.n(n-1)}{2} \\ 2- \ S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$

Vou usar a 1, pois já temos r e $a_1$. Substituindo os valores temos:

$S_{n} = -2n + \frac{5n(n-1)}{2} \Rightarrow S_{80} = -2.80 + \frac{5.80.79}{2} \Rightarrow S_{80} = -160 + 15800 \\ \boxed{\boxed{S_{80} = 15640}}$