Question

Ache a área da superfície delimitada no plano 2x + y + z = 4 pelos planos x = 0,x = 1,y = 0 e y = 1.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas de superfícies.

A área de uma superfície determinada por uma função $z(x,~y)$ definida no intervalo fechado $[a,~b]\times [c,~d]$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b\int_c^d \sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dy\,dx}$ .

Assim, seja a superfície delimitada no plano $2x+y+z=4$ e pelos planos $x=0,~x=1,~y=0$ e $y=1$. Devemos determinar a área desta superfície.

Primeiro, isolamos $z$:

$z=4-2x-y$

Calculamos as derivadas parciais em respeito às variáveis $x$ e $y$:

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-2\\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=-1$

Substituímos estas derivadas parciais e os limites de integração na integral

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^1 \sqrt{1+(-2)^2+(-1)^2}\,dy\,dx}$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{\int_0^1\int_0^1 \sqrt{1+4+1}\,dy\,dx}\\\\\\\displaystyle{\int_0^1\int_0^1 \sqrt{6}\,dy\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dy=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.
• A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$.

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\sqrt{6}\cdot\int_0^1\int_0^1\,dy\right]\,dx}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=y^0$

$\displaystyle{\sqrt{6}\cdot\int_0^1\dfrac{y^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^1\,dx}$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

$\displaystyle{\sqrt6\cdot\int_0^1y~\biggr|_0^1\,dx}\\\\\\\ \displaystyle{\sqrt6\cdot\int_0^1(1-0)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\sqrt{6}\cdot\int_0^11\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\sqrt{6}\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

$\sqrt6\cdot x~\biggr|_0^1\,dx}\\\\\\\ \sqrt6\cdot(1-0)\\\\\\ \sqrt6~\bold{u.~a}$

Esta é a área da superfície delimitada no plano $2x+y+z=4$ e os planos $x=0,~x=1,~y=0$ e $y=1$ que buscávamos.