Question

achar a equação da circunferencia na qual os pontos A=(1,9) e B=(-3, 5)são diametralmente opostos.

Answer 1

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Os pontos

$\mathsf{A(1,\,9),~~B(-3,\,5)}$

são diametralmente opostos. Logo, o diâmetro da circunferência é a distância entre esses dois pontos:

$\mathsf{d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{(-3-1)^2+(5-9)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{(-4)^2+(4)^2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{16+16}}$

$\mathsf{d=\sqrt{32}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{2^5}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{2^4\cdot 2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{(2^2)^2\cdot 2}}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{(2^2)^2}\cdot \sqrt{2}}$

$\mathsf{d=2^2\cdot \sqrt{2}}\\\\ \mathsf{d=4\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{medida do di\^ametro.}$


•   O raio da circunferência é a metade do diâmetro:

$\mathsf{r=\dfrac{d}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{r=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 2\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{r=2\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{medida do raio da circunfer\^encia.}$


•   O centro $\mathsf{C(x_C,\,y_C)}$ é o ponto médio do segmento $\mathsf{\overline{AB}:}$

$\mathsf{x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_C=\dfrac{1-3}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_C=\dfrac{-2}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_C=-1\qquad\quad\checkmark}$


$\mathsf{y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}}\\\\\\ \mathsf{y_C=\dfrac{9+5}{2}}\\\\\\ \mathsf{y_C=\dfrac{14}{2}}\\\\\\ \mathsf{y_C=7\qquad\quad\checkmark}$


O centro é o ponto $\mathsf{C(-1,\,7).}$

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•   A equação reduzida desta circunferência:

$\mathsf{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2}\\\\ \mathsf{(x-(-1))^2+(y-7)^2=(2\sqrt{2})^2}\\\\ \mathsf{(x+1)^2+(y-7)^2=2^2\cdot 2}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{(x+1)^2+(y-7)^2=8} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a equa\c{c}\~ao reduzida.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   pontos diametralmente opostos diâmetro raio centro ponto médio equação reduzida circunferência geometria analítica