Question

ABCDEF é um hexágono regular de lado a. Sabendo que a área do quadrilátero ABCM é um quarto da área do hexágono, o comprimento do segmento AM é:
a) 5a/3
b) 7a/4
c) 9a/4
d) 7a/3
e) 5a/4

De acordo com o gabarito, a resposta certa é a letras B, mas não estou conseguindo chegar nela.

Answer 1

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo isósceles ABC:

$(\overline{AC})=(\overline{AB})^{2}+(\overline{BC})^{2}-2*\overline{AB}*\overline{BC}*cos~120\º$

O segmento AB é igual ao segmento BC, esses são lados do hexágono regular.

Como o lado do hexágono é 'a':

$(\overline{AC})^{2}=a^{2}+a^{2}-2*a*a*(-1/2)\\(\overline{AC})^{2}=2a^{2}-2a^{2}(-1/2)\\(\overline{AC})^{2}=2a^{2}+a^{2}\\(\overline{AC})^{2}=3a^{2}\\\overline{AC}=\sqrt{3a^{2}}\\\overline{AC}=a\sqrt{3}$

Vamos aproveitar, e achar a altura do triângulo ABC em relação à AC:

$sen~30\º=\frac{h}{a}\\\\\frac{1}{2}=\frac{h}{a}\\\\\boxed{\boxed{h=\frac{a}{2}}}$
______________________

A área do quadrilátero é 1/4 da área do hexágono:

$A_{(ABCM)}=\frac{1}{4}*A_{hex}\\\\A_{(ABCM)}=\frac{1}{4}*\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\\\\A_{(ABCM)}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{8}$

Porém, a área do quadrilátero é a soma das áreas dos triângulos ABC e ACM:

$A_{(ABCM)}=A_{(ABC)}+A_{(ACM)}\\\\A_{(ABCM)}=[\dfrac{a\sqrt{3}*\frac{1}{2}}{2}]+[\dfrac{a\sqrt{3}*\overline{CM}}{2}]$

Achando CM:

$(\overline{AM})^{2}=(\overline{AC})^{2}+(\overline{CM})^{2}\\(\overline{AM})^{2}=3a^{2}+(\overline{CM})^{2}\\(\overline{AM})^{2}-3a^{2}=(\overline{CM})^{2}\\(\overline{CM})=\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}$

Temos, então:

$A_{(ABCM)}=[\dfrac{a\sqrt{3}*\frac{a}{2}}{2}]+[\dfrac{a\sqrt{3}*(\verline{CM})}{2}]\\\\\\A_{(ABCM)}=[\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}]+[\dfrac{a\sqrt{3}*\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}}{2}]\\\\\\\dfrac{3a^{2}\sqrt{3}}{8}=[\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}]+[\dfrac{a\sqrt{3}*\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}}{2}]$

Dividindo todos os membros por a√3:

$\dfrac{3a}{8}=\dfrac{a}{4}+\dfrac{\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}}{2}$

Multiplicando tudo por 8:

$8*\dfrac{3a}{8}=8*\dfrac{a}{4}+8*\dfrac{\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}}{2}\\\\3a=2a+4\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}\\3a-2a=4\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}\\4\sqrt{(\overline{AM})^{2}-3a^{2}}=a$

Elevando os 2 lados da equação ao quadrado:

$16((\overline{AM})^{2}-3a^{2})=a^{2}\\16(\overline{AM})^{2}-48a^{2}=a^{2}\\16(\overline{AM})^{2}=a^{2}+48a^{2}\\16(\overline{AM})^{2}=49a^{2}\\(\overline{AM})^{2}=49a^{2}/16\\\overline{AM}=\sqrt{49a^{2}/16}\\\overline{AM}=7a/4$