Question

Abc é equilátero e AE=EB=BF=AD=CD de modo que ABC é interno à DEF. Prove que DEF é equilátero

Answer 1

Pela semelhança de ângulos, fica provado que DEF é um triângulo equilátero  

Semelhança de triângulos

É dado que o triângulo ABC é equilátero.

Dado que AE = BE = AD = BF, podemos inferir que pelo ponto A passa a mediatriz referente ao lado DE e, pelo ponto B passa a mediatriz referente ao lado EF. Sendo o triângulo ABC equilátero, seus ângulos internos são de 60° e, por formar dois triângulos semelhantes adjacentes, ACD e ABE, logo, os ângulos em A são todos de 60°, assim como também em B. A semelhança dos lados DE e EF leva à conclusão de que AB//DF, portanto, podemos aplicar a seguinte propriedade:

AE/AB = DE/DF,

sabendo que DE = 2AE,

AE/AB = 2AE/DF

DF/AB = 2AE/AE

DF/AB = 2

DF = 2AB

Pela semelhança entre os triângulos ABE e ACD, podemos inferir que os ângulos em C também são de 60°, pois, como já sabemos que em B são todos de 60°. Logo, o ângulo em F só pode ser de 60°, o que comprova que DEF seja um triângulo equilátero.

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