Question

A velocidade de um objeto é dada nas unidades SI por v = (At−Bt² ) ˆi+C ˆj, com A = 14m/s², B= 10m/s³ e C= 22m/s. (a) Se a posição inicial do objeto em t=0 é a origem (Xi=Yi=0), quando o objeto retorna a origem? (b) Quando a velocidade é zero? (c) Quando o objeto tem aceleração zero?

Answer 1

Analisando as derivadas temporais do espaço, temos que:

a) Nunca.

b) Nunca.

c) t = 0,7 s.

Explicação:

Então nos foi dado a seguinte função velocidade vetorial:

$\vec{v}=(At-Bt^2;C)$

Podemos encontrar o vetor deslocamente integrando o vetor velocidade em relação ao tempo, pois velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo:

$\vec{v}=(At-Bt^2;C)$

$\vec{s}=(\frac{A}{2}t^2-\frac{B}{3}t^3;Ct)$

E podemo também encontrar o vetor aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo:

$\vec{v}=(At-Bt^2;C)$

$\vec{a}=(A-2Bt;0)$

Assim temos estes três vetores:

$\vec{s}=(\frac{A}{2}t^2-\frac{B}{3}t^3;Ct)$

$\vec{v}=(At-Bt^2;C)$

$\vec{a}=(A-2Bt;0)$

Assim podemos responder as perguntas:

(a) Se a posição inicial do objeto em t=0 é a origem (Xi=Yi=0), quando o objeto retorna a origem?

Basta igualarmos nosso vetor posição com a origem (0,0):

$\vec{s}=(\frac{A}{2}t^2-\frac{B}{3}t^3;Ct)=(0;0)$

$\frac{A}{2}t^2-\frac{B}{3}t^3=0$

$Ct=0$

Assim temos que este objeto nunca mais retorna a origem, pois o componente Y do vetor é uma equação de primeiro grau e equações de primeiro grau só tem uma solução, que é t=0, ou seja, ele só está na origem em t=0.

(b) Quando a velocidade é zero?

Basta igualarmos o vetor velocidade a (0;0):

$\vec{v}=(At-Bt^2;C)=(0;0)$

$At-Bt^2=0$

$C=0$

Assim temos que este objeto nunca tem velocidade 0, pois o componente em Y é constante, ou seja, ele nunca será nulo.

(c) Quando o objeto tem aceleração zero?

Basta igualarmos o vetor aceleração ao vetor (0;0):

$\vec{a}=(A-2Bt;0)=(0;0)$

$A-2Bt=0$

$0=0$

Como o componente em Y já é 0, vamos só verificar em X:

$A-2Bt=0$

$2Bt=A$

$t=\frac{A}{2.B}$

$t=\frac{14}{2.10}$

$t=\frac{14}{20}$

$t=0,7$

Assim esta aceleração será nula em 0,7 segundos.