Question

A soma tres números que formam uma P.A crescente e 36.determine esses números sabendo que se somando 6 unidades ao último,eles passam a constituir uma P.G

Answer 1

$P.A~(x,~y,~z)$

Escrevendo os termos em função de x e r (razão da P.A):

$x=a_{1}\\y=a_{2}=a_{1}+r=x+r\\z=a_{3}=a_{1}+2r=x+2r$

$x+y+z=36\\x+(x+r)+(x+2r)=36\\3x+3r=36\\3*(x+r)=3*12\\x+r=12\\\\x+r=12\\r=12-x$
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$P.G~(x,~y,~z+6)$

$x = x\\y= x+r=12$

$z+6=x+2r+6\\z+6=x+2(12-x)+6\\z+6=x+24-2x+6\\z+6=30-x$

Seja q a razão dessa P.G:

$q=a_{2}/a_{1}=12/x\\q=a_{3}/a_{2}=(30-x)/12$

$q=q\\12/x=(30-x)/12\\12*12=x*(30-x)\\30x-x^{2}=144\\-x^{2}+30x-144=0$

$\Delta=b^{2}-4*a*c\\\Delta=30^{2}-4*(-1)*(-144)\\\Delta=900-576\\\Delta=324\\\\x=(-b\pm\sqrt{\Delta})/2a\\x=(-30\pm\sqrt{324})/(2*[-1])\\x=(-30\pm18)/(-2)\\\\x'=(-30+18)/(-2)\\x'=-12/(-2)\\x'=6$

$x''=(-30-18)/(-2)\\x''=-48/(-2)\\x''=24$
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Se x for 6:

$r=12-x\\r=12-6\\r=6$

Se x for 24:

$r = 12 - x\\r = 12 - 24\\r = - 12$

x = 24 não serve, pois se a P.A é crescente, a razão é positiva.
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x = 6, r = 6

$y = x + r = 6 + 6 = 12\\z = y + r = 12 + 6 = 18$