Question

A soma dos termos de uma P.G. de razão 2 é igual a – 930. Qual o número de termos dessa
P.G. se o seu primeiro termo é – 30?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre progressões geométricas.

Suponha que esta progressão aritmética tenha $n$ termos. A soma dos termos de uma progressão finita de razão $q$ e primeiro termo $a_1$ é calculada pela fórmula: $S_n=\dfrac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}$, $q\neq1$.

Substituindo $S_n=-930,~a_1=-30$ e $q=2$, temos:

$\dfrac{(-30)\cdot(1-2^n)}{1-2}=-930$

Some os valores no denominador e simplifique a fração por um fator $(-1)$

$\dfrac{(-30)\cdot(1-2^n)}{-1}=-930\\\\\\ 30\cdot(1-2^n)=-930$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $30$

$\dfrac{30\cdot(1-2^n)}{30}=\dfrac{-930}{30}\\\\\\ 1-2^n=-31$

Subtraia $1$ em ambos os lados da igualdade

$-2^n=-32$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $(-1)$

$2^n=32$

Reescreva $32$ como uma potência de base $2$: $32=2^5$

$2^n=2^5$

Visto que as bases são iguais, igualamos os expoentes

$n=5$

Este é o número de termos desta progressão geométrica.