Question

A Soma de Três Números Reais é 21 e o Produto é 28,Determine-os,Sabendo Que São os Termos De uma P.A.

Answer 1

Já que são termos de uma P.A façamos:

 

$\\ \begin{cases} a_1 + a_2 + a_3 = 21 \\ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 28\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 21 \\ a_1(a_1 + r)(a_1 + 2r) = 28 \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} 3a_1 + 3r = 21 \;\;\; \div (3 \\ a_1(a_1 + r)(a_1 + 2r) = 28 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1 + r = 7 \Rightarrow \boxed{a_1 = 7 - r} \\ a_1(a_1 + r)(a_1 + 2r) = 28 \end{cases}$

 

 Substituindo a equação I (destacada) na equação II, temos:

 

$\\ a_1(a_1 + r)(a_1 + 2r) = 28 \\ (7 - r)(7 - r + r)(7 - r + 2r) = 28 \\ (7 - r) \cdot 7 \cdot (7 + r) = 28 \\ (7 - r)(7 + r) = 4 \\ 49 - r^2 = 4 \\ r^2 = 45 \\ \boxed{r = \pm 3\sqrt{5}}$

 

 Quando $\boxed{r = 3\sqrt{5}}$:

 

$\\ a_1 = 7 - r \\ \boxed{a_1 = 7 - 3\sqrt{5}}$

 

 Logo os três números serão:

 

$\\ \begin{cases} \boxed{\boxed{a_1 = 7 - 3\sqrt{5}}} \\ a_2 = a_1 + r \Rightarrow a_2 = 7 - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} \Rightarrow \boxed{\boxed{a_2 = 7}} \\ a_3 = a_1 + 2r \Rightarrow a_3 = 7 - 3\sqrt{5} + 6\sqrt{5} \Rightarrow \boxed{\boxed{a_2 = 7 + 3\sqrt{5}}}\end{cases}$

 

 

Quando $\boxed{r = - 3\sqrt{5}}$:

 

$\\ a_1 = 7 - r \\ \boxed{a_1 = 7 + 3\sqrt{5}}$

 

 Logo os três números serão:

 

$\\ \begin{cases} \boxed{\boxed{a_1 = 7 + 3\sqrt{5}}} \\ a_2 = a_1 + r \Rightarrow a_2 = 7 + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} \Rightarrow \boxed{\boxed{a_2 = 7}} \\ a_3 = a_1 + 2r \Rightarrow a_3 = 7 + 3\sqrt{5} - 6\sqrt{5} \Rightarrow \boxed{\boxed{a_2 = 7 - 3\sqrt{5}}}\end{cases}$

 

 Espero ter ajudado!