Question

A soma de três números que formam uma P.A. crescente é 36. Determine esses números, sabendo que, se somarmos 6 unidades ao último, eles passam a construir uma P.G.

Answer 1

Imagine a seguinte P.A. de 3 termos: 

$(x-r,~x,~x+r)$

Vamos supor que sua soma é 36:

$(x-r)+x+(x+r)=36~\Leftrightarrow~3x=36~\Leftrightarrow~x=12$

Se x = 12 > 0 e a P.A. é crescente, então:

$12\ \textless \ 12+r~\Leftrightarrow~0\ \textless \ r$

Agora vamos supor que ao somar 6 unidades ao terceiro termo a P.A. torna-se uma P.G.:

$(x-r,~x,~(x+r)+6)~\Rightarrow~x^2=(x-r)((x+r)+6)$

Substituindo x = 12 (e levando em consideração r > 0):

$12^2=(12-r)((12+r)+6)\\\\12^2=(12-r)(12+r)+(12-r)6\\\\12^2=12^2-r^2+72-6r\\\\r^2+6r=72\\\\r^2+6r+9-9=72\\\\(r+3)^2-9=72\\\\(r+3)^2=81\\\\r+3=9\\\\r=6$

Os três números que estamos buscando são o três termos da P.A. que supomos no início.

$S=\left\{6,~12,~18\right\}$