Question

a soma de três números inteiros em PG é 35 e a diferença entre o primeiro e o terceiro é 15. Determine esses números​

Answer 1

Resposta:

Solução:

$\sf \displaystyle Dados: \begin{cases} \sf a_1 = a \\ \sf a_2 = a \cdot q \\ \sf a_3 = a \cdot q^2 \end{cases}$

Soma de três números inteiros ( números naturais).

$\sf \displaystyle a_1 + a_2 +a_3 = 15$

$\sf \displaystyle a + a\cdot q + a \cdot q^2 = 35$

$\sf \displaystyle a \cdot (1 + q +q^2) = 35 \:\to I$

Diferença entre o primeiro e o terceiro:

$\sf \displaystyle a_1 - a_3 = 15$

$\sf \displaystyle a -a\cdot q^2 = 15$

$\sf \displaystyle a \cdot (1 - q^2) = 15 \: \to I I$

Dividir a equação II por I

$\sf \displaystyle \dfrac{ \diagup\!\!\!{ a} \cdot (1+ q + q^2) }{\diagup\!\!\!{ a} \cdot (1-q^2) } = \dfrac{35 }{15}$

$\sf \displaystyle \dfrac{ 1+ q + q^2 }{1-q^2 } = \dfrac{7 }{3}$

$\sf \displaystyle 3 +3q +3q^2 = 7 - 7q^2$

$\sf \displaystyle 3q^2 +7q^2 +3q + 3 - 7 = 0$

$\sf \displaystyle 10q^2 +3q - 4 = 0$

$\sf \displaystyle \Delta = b^2 -\:4ac$

$\sf \displaystyle \Delta = 3^2 -\:4 \cdot 10 \cdot (-4)$

$\sf \displaystyle \Delta = 9 +160$

$\sf \displaystyle \Delta = 169$

$\sf \displaystyle q = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,3 \pm \sqrt{ 169} }{2 \cdot 10}$

$\sf \displaystyle q = \dfrac{-\,3 \pm 13 }{20} \Rightarrow\begin{cases} \sf q_1 = &\sf \dfrac{-\,3 + 13}{20} = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} \\\\ \sf q_2 = &\sf \dfrac{-\,3 - 13}{20} = \dfrac{- 16}{20} = - \dfrac{4}{5} \gets \text{\sf n{\~a}o serve }\end{cases}$

Determinar  os três termos:

$\sf \displaystyle a_1 +a_2 + a_3 = 35$

$\sf \displaystyle a + a \cdot q + a \cdot q^2 = 35$

$\sf \displaystyle a + a \cdot \dfrac{1}{2} + a \cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^2 = 35$

$\sf \displaystyle a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{4} = 35$

$\sf \displaystyle \dfrac{4a}{4} + \frac{2a}{4} +\dfrac{a}{4} = \dfrac{140}{4}$

$\sf \displaystyle 4a +2a +a = 140$

$\sf \displaystyle 7a = 140$

$\sf \displaystyle a = \dfrac{140}{7}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle a = 20}$

$\sf \displaystyle a_1 = a$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle a_1 = 20 }$

$\sf \displaystyle a_2 = a \cdot q$

$\sf \displaystyle a_2 = 20 \cdot \dfrac{1}{2}$

$\sf \displaystyle a_2 = \dfrac{20}{2}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle a_2 = 10 }$

$\sf \displaystyle a_3 = a \cdot q^2$

$\sf \displaystyle a_3 = 20 \cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^2$

$\sf \displaystyle a_3 = 20 \cdot \dfrac{1}{4}$

$\sf \displaystyle a_3 = \dfrac{20}{4}$

$\boldsymbol{ \sf \displaystyle a_3 = 5 }$

Provar os dados cálculos:

$\sf \displaystyle a_1 +a_2 +a_3 = 35$

$\sf \displaystyle 20 +10+5 = 35$

$\sf \displaystyle 35 = 35 \: \checkmark$

$\sf \displaystyle a_1 - a_3 = 15$

$\sf \displaystyle 20 - 5 = 15$

$\sf \displaystyle 15 = 15 \: \checkmark$

A sequência da P. G = { 20, 10,  5 }.

Explicação passo-a-passo: