Question

a soma de todos os números ímpares

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mayara, que a questão deve pedir a soma de todos os primeiros "n" números ímpares positivos. Se for isso mesmo, então vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se a soma de todos os primeiros "n" números ímpares positivos.
Veja que os números ímpares positivos formam uma PA com a seguinte conformação:

(1; 3; 5; 7; .........) --- E assim, começando do "1", que é o primeiro número ímpar positivo, vai de duas em duas unidades até o "mais infinito". Se vai de duas em duas unidades, então a razão (r) dessa PA é igual a "2".

ii) Agora vamos ver qual é o último número ímpar (o de ordem "n"), tendo por base a PA acima. Para isso, basta que apliquemos a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:

a ̪  = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "a₁" por "1", que o primeiro termo da nossa PA. Por sua vez, substituiremos "r" por "2", que é o valor da razão da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

a ̪  = 1 + (n-1)*2 ----- efetuando o produto indicado, teremos:
a ̪  = 1 + 2n - 2 ---- vamos apenas ordenar, ficando assim:
a ̪  = 2n + 1 - 2 ------ ou, o que é a mesma coisa:
a ̪   = 2n - 1 <--- Este será o valor do termo de ordem "n" qualquer de uma PA que contiver todos os primeiros "n" números ímpares positivos. 

iii) Agora vamos para soma dos "n" primeiros números ímpares positivos, cuja fórmula é esta:

S ̪  = (a₁+ a ̪ )*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "a₁" por "1", que é o valor do primeiro termo da PA. Por sua vez, substituiremos "a ̪ " por "2n-1" (que é o termo de ordem "n" que acabamos de encontrar acima). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

S ̪  = (1 + 2n-1)*n/2 ----- vamos apenas ordenar o numerador, ficando:
S ̪  = (2n + 1-1)*n/2 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador, iremos ficar apenas com:

S ̪  = (2n)*n/2 ---- efetuando este produto, teremos:
S ̪  = 2n² / 2 ---- finalmente, simplificando-se numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:

S ̪  = n² <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a soma dos primeiros "n" números ímpares positivos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.