Question

A sequencia (x, 1/x , 1. ) e x é um número real negativo. Qual a soma dos 20 primeiros termos dessa progressão

Answer 1

A soma dos 20 primeiros termos dessa progressão é 245.

Progressão aritmética

Como essa sequência forma uma progressão aritmética, a diferença entre os termos consecutivos deve ser a mesma. Logo:

1/x - x = x - 1/x

Resolvendo, fica:

$\frac{1}{x} - x = 1 - \frac{1}{x} \\\\\frac{1}{x} - \frac{x^2}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x}\\\\1 - x^{2} = x - 1\\\\-x^2 - x + 1 + 1 = 0\\\\-x^2 - x + 2 = 0$

Agora, precisamos resolver essa equação do 2° grau para determinar o valor de x.

Os coeficientes são: a = - 1, b = - 1, c = 2.

Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4.(-1).2

Δ = 1 + 8

Δ = 9

x = - b ± √Δ

         2a

x = - (-1) ± √9

         2(-1)

x = 1 ± 3

       -2

x' = 4 = - 2

     -2

x'' = -2 = 1

       -2

O enunciado informa que x é negativo. Logo, x = - 2.

Logo, a sequência é (- 2, - 1/2, 1). O primeiro termo é: a₁ = - 2.

A razão é:

1/x - x = - 1/2 - (- 2) = - 1/2 + 2 = 3/2

Logo, o vigésimo termo será:

a₂₀ = a₁ + (n - 1)·r

a₂₀ = - 2 + (20 - 1)·3/2

a₂₀ = - 2 + 19·3/2

a₂₀ = - 2 + 57/2

a₂₀ = 53/2

A soma dos vinte primeiros termos será:

S₂₀ = (a₁ + a₂₀)·20

                 2

S₂₀ = (-2 + 53/2)·20

                   2

S₂₀ = (-2 + 53/2)·10

S₂₀ = 49/2·10

S₂₀ = 49·5

S₂₀ = 245

Mais sobre progressão aritmética em:

https://brainly.com.br/tarefa/13963614

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