Question

A sequência (a1, a2, a3,. , a20) é uma progressão aritmética de 20 termos, na qual a8 a9 = a5 a3 189. A diferença entre o último e o primeiro termo dessa progressão, nessa ordem, é igual a

Answer 1

A diferença entre o último e o primeiro termo dessa progressão, nessa ordem, é igual a 399.

Progressão aritmética

O termo geral de uma PA é dado por:

aₙ = a₁ + (n - 1)·r

Como essa PA temos 20 termos, temos n = 20. Logo:

a₂₀ = a₁ + (20 - 1)·r

a₂₀ = a₁ + 19·r

Então, diferença entre o último e o primeiro termo será:

a₂₀ - a₁ = (a₁ + 19·r) - a₁

a₂₀ - a₁ = 19·r

Então, o que devemos fazer agora é simplesmente encontrar o valor de r para substituir na equação acima.

Substituindo os termos da expressão dada no enunciado pela fórmula correspondentes, temos:

a₈ + a₉ = a₅ + a₃ + 189

[a₁ + (8 - 1).r] + [a₁ + (9 - 1).r] = [a₁ + (5 - 1).r] + [a₁ + (3 - 1).r] + 189

[a₁ + 7.r] + [a₁ + 8.r] = [a₁ + 4.r] + [a₁ + 2.r] + 189

a₁ + a₁ + 7r + 8r = a₁ + a₁ 4r + 2r + 189

2a₁ + 15r = 2a₁ + 6r + 189

15r - 6r = 189

9r = 189

r = 189/9

r = 21

Portanto:

a₂₀ - a₁ = 19·r

a₂₀ - a₁ = 19·21

a₂₀ - a₁ = 399

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