Question

A reta y = 2x − 4 corta o círculo x² + y² − 6x −4y + 9 = 0 em duas partes. As áreas destas partes que restaram são dadas por:

resposta: 2π e 2π

Answer 1

Temos as seguintes equações:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 6x - 4y + 9 = 0 \rightarrow circunfer\hat{e}ncia\\ \sf y = 2x - 4 \rightarrow reta$

A primeira coisa que devemos fazer é encontrar o centro e o raio dessa circunferência de equação geral x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0, para isso vamos usar a equação em sua forma padrão, dada por:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0$

Como elas possuem a mesma configuração, podemos estabelecer uma relação de igualdade entre os termos semelhantes:

$\begin{cases} \sf - 2ax = - 6x \\ \sf a = \frac{ - 6x}{ - 2x} \\ \sf a = 3 \\ \end{cases} \begin{cases} \sf - 2by = - 4y \\ \sf b = \frac{ - 4y}{ - 2y} \\ \sf b = 2 \end{cases}$

Para encontrar o raio devemos usar a relação de "K" dada por:

$\sf k = {a}^{2} + {b}^{2} - {r}^{2}$

Na equação que possuímos o "k" é igual a 9, já "a" e "b" são os valores que acabamos de calcular, então vamos substituir esses dados:

$\sf 9 = 3 {}^{2} + 2 {}^{2} - r {}^{2} \\ \sf 9 = 9 + 4 - r {}^{2} \\ \sf 9 = 13 - r {}^{2} \\ \sf 9 - 13 = r {}^{2} \\ \sf - 4 = - r {}^{2} (- 1) \\ \sf r = \sqrt{4} \\ \boxed{\sf r = 2}$

Portanto:

$\sf Centro (3,2) \: \: \: \: raio = 2$

Tendo feito isso, você deve esboçar um círculo em um plano cartesiano que tenha o centro no ponto (3,2) e raio 2 e no mesmo plano você deve esboçar a reta y = 2x - 4, com isso você perceberá que a reta irá dividir o círculo em duas partes iguais. A questão pergunta justamente a área de cada um dessas "bandas".

• Você deve observar que a reta dividiu o círculo em duas partes iguais formando assim dois semicírculos, logo para encontrar a área do mesmo devemos usar a área do círculo e dividir por 2, já que trata-se de um semicírculo.

$\sf A \bigcirc = \frac{\pi.r {}^{2} }{2}$

Substituindo o valor do raio "2" na fórmula:

$\sf A \bigcirc = \frac{\pi.2 {}^{2} }{2} \\ \\ \sf A \bigcirc = \frac{\pi.4}{2} \\ \\ \boxed{ \sf A \bigcirc = 2\pi}$

Como são duas partes iguais, serão duas áreas correspondentes a 2π.

Espero ter ajudado