Question

A reta x + y + 12 = 0 é tangente a um círculo C de centro (−2, −4).
Calcule a área do disco delimitado por C.

Answer 1

Olá, boa tarde.

A reta $r: x+y+12=0$ é tangente a um círculo $\mathcal{C}$ de centro $(-2,\,-4)$. Devemos determinar a área do disco delimitado por $\mathcal{C}$.

Primeiro, lembre-se que a área $A$ de um disco delimitado por um círculo de raio $r$ é calculado pela fórmula: $A=\pi\cdot r^2$.

Logo, devemos determinar o raio deste círculo. Nos foi dito que a reta $r$ é tangente a este círculo, ou seja, existe um ponto da reta que pertence a circunferência do círculo e, dessa forma, a distância entre seu centro e a reta é igual ao raio.

Com isso, utilizamos a fórmula da distância de ponto a reta para determinarmos seu raio.

A distância $d$ de um ponto genérico $(x_0,~y_0)$ a uma reta $s:ax+by+c=0$ é calculada pela fórmula: $d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Substituindo os coeficientes da reta e as coordenadas do centro deste círculo, fazemos $d=r$ e teremos:

$r=\dfrac{|1\cdot (-2)+1\cdot(-4)+12|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$r=\dfrac{|-2-4+12|}{\sqrt{1+1}}\\\\\\ r=\dfrac{|6|}{\sqrt{2}}$

Calcule o módulo do número, dada a definição $|x|=\begin{cases}x,~se~x\geq0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$.

$r=\dfrac{6}{\sqrt{2}}$

Racionalize o denominador da fração, multiplicando-a por um fator $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$r=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\\ r=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}\\\\\\ r=3\sqrt{2}$

Este é o raio deste círculo.

Por fim, substituindo este resultado na fórmula para a área do círculo, temos:

$A=\pi\cdot(3\sqrt{2})^2$

Calcule a potência e multiplique os valores

$A=18\pi~\bold{u.~a}~~\checkmark$

Este é o resultado que buscávamos.