Question

A reta r: 4y + 2 = 5x intercea a parábola de equação 2y= x2(ao quadrado) em pois pontos. Ache as coordenadas do ponto médio do segmento determinado por esses pontos.

Answer 1

Para encontrar os pontos de intersecção dos dois lugares geométricos temos que resolver o seguinte sistema:

$\begin{cases} 4y+2=5x\\2y=x^2\end{cases}$

Uma proposta é isolar o y da primeira equação e substituir na segunda:

$\begin{cases}y=\dfrac{5x-2}{4}\\2y=x^2\end{cases}$

Substituindo na segunda equação::

$2(\dfrac{5x-2}{4})=x^2$

$\dfrac{5x-2}{2}=x^2$

$5x-2=2x^2$

$2x^2-5x+2=0$

Resolvendo:

$x_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{5^2-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$

$x_{1,2}=\dfrac{5\pm 3}{4}$

$\boxed{x_1=2}$

$\boxed{x_2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}}$

Substituindo na equação:

$y=\dfrac{5x-2}{4}$

$y_1=\dfrac{5\times 2-2}{4}$

$\boxed{y_1=2}$

$y_2=\dfrac{5\times \frac{1}{2}-2}{4}$

$\boxed{y_2=\dfrac{1}{8}}$

Assim temos os pontos (2,2) e (1/2, 1/8)

Para achar o ponto médio, basta fazer a média aritmética das coordenadas:

$x_M=\dfrac{2 +1/2}{2}=3/4$

$y_M=\dfrac{2+1/8}{2}=17/16$

O ponto médio é M=(3/4, 17/16)