Question

A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção
do vetor AB. Nesse contexto, escreva a equação paramétrica da reta r que
passa por A (3, -1, -2) e B (1, 2, 4) e verifique o que está correto.



IMAGEM



Alternativas
Alternativa 1:
Somente a afirmativa IV está correta.

Alternativa 2:
Somente afirmativa III está correta.

Alternativa 3:
Somente as afirmativas I e II estão corretas.

Alternativa 4:
Somente as afirmativas II e III estão corretas.

Alternativa 5:
Somente as afirmativas III e IV estão corretas.

Answer 1

Vamos ver uma resumida de Geometria Analítica na parte de retas.

Uma reta é um ente geométrico que pode ser definido como todos os pontos P tais que, para um vetor diretor $\vec{v}$ e um ponto P₀ que pertença a reta:

$r: P=P_0+t\vec{v}$

Onde t é um escalar real.

Podemos escrever a mesma definição, mas com o uso de vetores, ou seja, dado um Ponto P = (x, y, z) e P₀ = (x₀, y₀, z₀) e um vetor $\vec{v}=(a,b,c)$

$r:\left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)$

Esse vetor que chamamos de diretor, nada mais é que um vetor que mostra para que sentido a reta cresce e ele pode ser obtido a partir de qualquer valor de P = (x₁, y₁, z₁) pois:

$r:\left(\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right)+t_1\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)$

Para algum t₁ nos reais, exceto zero, portanto:

$r:\left(\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)$

$r:\left(\begin{array}{ccc}x_1-x_0\\y_1-y_0\\z_1-z_0\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)$

Portanto, o vetor diretor deve ser paralelo ao vetor (x₁-x₀, y₁-y₀, z₁-z₀), para quaisquer pontos $P_1,\: P_0 \in r$

Depois desse breve resumo sobre retas no $\mathbb{R}^3$, vamos calcular a reta a qual passa pelos pontos

$A = (3,-1,-2),\:B=(1,2,4)\in r$

Portanto, podemos encontrar o vetor diretor, que será

$r:\left(\begin{array}{ccc}3-1\\-1-2\\-2-4\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)$

$r:\left(\begin{array}{ccc}2\\-3\\-6\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)$

Tome t₁ = -1:

$\vec{v}=(-2,3,6)$

Portanto, pela imagem vemos que a afirmativa III está correta.

Calcularemos agora a equação paramétrica de r, que não é nada mais que o que fizemos no resumo. Temos algum ponto em r e o vetor diretor, o que nos permite montar a equação de r de acordo com:

$r:\left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right)$

Tomando P₀ = A (neste momento a escolha de pegar A ou B não importa para a equação, pois pegando qualquer um dos dois obteremos a mesma reta, porém, com pontos iniciais em lugares distintos, escolhi A nesse caso pois vemos pelo enunciado que os valores de A aparecem nas equações.):

$r:\left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3\\-1\\2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ccc}-2\\3\\6\end{array}\right)$

$r:\left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3\\-1\\2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}-2t\\3t\\6t\end{array}\right)$

O que, somando os vetores, obteremos:

$r:\left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3-2t\\-1+3t\\2+6t\end{array}\right)$

Que é a afirmativa IV.

Assim, as afirmativas corretas são III e IV, o que nos resulta na Alternativa 5 como correta.