Question

A regra da cadeia é uma técnica para resolver derivadas de uma função composta de duas funções. Criada por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Determine a derivada da função a seguir, utilizando a regra da cadeia: F(X) = e(x*cos(x)):​

Answer 1

Resposta:

OBS.: Muito provavelmente você deveria ter passado f(x) = e^(x.cos(x)) e não f(x) = e(x.cos(x)), pois é nessa primeira função que podemos utilizar a regra da cadeia.

Sendo assim, comecemos derivando f em relação a x:

$\sf f'(x)=\frac{d}{dx}(e^{\,x\,\cdot\,cos(x)})$

Pela regra da cadeia, faça u = x.cos(x) de modo que f' = df/du . du/dx:

$\sf f'(x)=\frac{d}{du}(e^u)\cdot\frac{d}{dx}(u)$

A derivada de e elevado a u continua sendo ele mesmo:

$\sf f'(x)=e^u\cdot\frac{d}{dx}(u)$

Substituindo de volta x.cos(x) = u:

$\sf f'(x)=e^{x\,\cdot\,cos(x)}\cdot\frac{d}{dx}(x\cdot cos(x))$

Aplicando a regra do produto, na qual (f.g)' = f' . g + g' . f, obtemos:

$\sf f'(x)=e^{x\,\cdot\,cos(x)}\cdot(\frac{d}{dx}x\cdot cos(x)+\frac{d}{dx}cos(x)\cdot x)$

$\sf f'(x)=e^{x\,\cdot\,cos(x)}\cdot(1\cdot cos(x)-sen(x)\cdot x)$

$\red{\boldsymbol{\sf f'(x)=e^{x\,\cdot\,cos(x)}\cdot(cos(x)-x\,sen(x))}}$