Question

A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono regular cuja medida do apótema é 10 m circunscrito à mesma circunferência é.

Answer 1

Resposta:

R: 3/8

Explicação passo a passo:

Primeiramente vamos calcular a área do hexágono que tem a apótema medindo 10m, mas antes devemos encontrar a medida do seu lado.

Como o hexágono está circunscrito na circunferência, então, a apótema é igual a altura de um triângulo equilátero, sendo assim, temos:

Lado do hexágono,

$\frac{L\sqrt{3} }{2} = 10 \\ \\ L\sqrt{3} = 20\\\\L =\frac{20}{\sqrt{3} } = \frac{20\sqrt{3} }{3}$

O hexágono é um polígono que pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, então, iremos multiplicar por 6 a área de um triângulo equilátero.

AH --- área do hexágono    $\frac{6*l^{2} *\sqrt{3} }{4}$

$AH = \frac{6(\frac{20\sqrt{3} }{3})^{2} \sqrt{3} }{4} \\\\ AH = \frac{6*400*3\sqrt{3} }{9*4}$

Fazendo os cálculos e multiplicando por 6, temos

$AH =200\sqrt{3} m^{2}$

Agora vamos calcular a área do triângulo equilátero inscrito na circunferência.

O lado de um triângulo inscrito numa circunferência é:

$L = r\sqrt{3}$  como esse triângulo está inscrito na mesmo circunferência que o hexágono está circunscrito, então o raio da circunferência é igual a apótema, ou seja, o r = 10m

Sendo assim, o lado do triângulo é

$l = 10\sqrt{3}$  

Calculando a área do triângulo equilátero

AT ------ área do triângulo equilátero   $\\\frac{l^{2}\sqrt{3} }{4}$

$AT = \frac{(10\sqrt{3} )^{2}\sqrt{3} }{4} \\ \\ AT = \frac{100*3 \sqrt{3} }{4} \\ \\ AT =25*3\sqrt{3} \\AT = 75\sqrt{3} m^{2}$

Agora vamos calcular a razão entre a área do triângulo e do hexágono.

$\frac{AT}{AH} = \frac{75\sqrt{3} }{200\sqrt{3} }$

simplificando a expressão, temos:

$\frac{AT}{AH} = \frac{3}{8}$

Espero ter ajudado, bons estudos!!!