Question

A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x=16te^(-t), onde x é dado em metros e t em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?

(dica: se o elétron para momentaneamente sua velocidade deve ser zero, isto implica que devemos calcular primeiro sua velocidade e o tempo em que isto acontece para poder encontrar a distância percorrida)

Answer 1

     No ponto citado, a velocidade instantânea do elétron deve ser zero. A função da velocidade instantânea é a derivada da função da posição, desde que esta esteja em função do tempo.

$x(t)=16*t*e^{-t} \\ \frac{dx(t)}{dt} =16[t*e^{-t}+(-1)*e^{-t}]~\leftarrow~Regra~do~Produto \\ v_{i} (t) =16(t-1)e^{-t}$
 
     A partir disso podemos obter o instante procurado:

$0 =16(t-1)e^{-t} \\ t-1=0 \\ t=1s$
 
     Substituindo na equação do espaço, vem que:

$x(t)=16te^{-t} \\ x(1)=16*1*e^{-1} \\ \boxed { x(1) \approx 5.89m}$

Answer 2

Sabendo que a posição do életron é dada por uma função exponencial e que o mesmo para momentaneamente, ou seja, sua velocidade é zero a distância em que o életron está da origem neste instante é de 5,89m.

Velocidade instantânea

Temos que no ponto dado a velocidade instantânea do elétron deve ser zero, logo a função da velocidade é dada pela derivada da função da posição em função do tempo, sendo essa função dada por:

                                              $x(t) = 16te^{-t}$

Logo, a velocidade instantânea será:

                                        $\frac{dx(t)}{dx} = 16(te^{-t} - e^{-t})\\v(t) = 16e^{-t}(t - 1)$

Sabendo que a velocidade precisa ser zero no ponto temos que:

                                        $0 = 16e^{-t}(t - 1)\\t - 1 = 0\\t = 1$

Para encontrar a distância em que o elétron está da origem quando esse para momentaneamente basta substituir o tempo encontrado:

                                     $x(1) = 16e^{-1}\\x(1) = 16*0.36787944117\\x(1) = 5.88607105874\\x(1) \approx 5,89 m$

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