Question

A) log(x-2) base 2 - log(x-8) base 2 = 5

B) log(x^2 + 5x + 15) base 3 - log(x+3) base 3 = 2

C) log(log 3x -5) = 0

D) log(2x + 10) base 2 - log(x+1) base 4 = 3

PF ME AJUDEM PRECISO PRA AMANHA!

Answer 1

$log_2(x - 2) - log_2(x - 8) = 5 \\ \\ log_2( \frac{x - 2}{x - 8} ) = 5 \\ \\ \frac{x-2}{x-8} = 2^5 \\ \\ x - 2 = 32(x - 8) \\ x - 2 = 32x - 256 \\ -31x = -254 \\ \\ x = \frac{254}{31}$

$log_3(x^2 + 5x + 15) - log_3(x + 3) = 2 \\ \\ log_3 (\frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3} ) = 2 \\ \\ \frac{x^2 + 5x + 15}{x + 3} = 3^2 \\ \\ x^2 + 5x + 15 = 9(x + 3) \\ x^2 + 5x + 15 = 9x + 27 \\ x^2 - 4x - 12 = 0 \\ \\ x_1 + x_2 = 4 \\ x_1.x_2 = -12 \\ \\ x_1 = 6 \\ x_2 = -2$

Ambas as raízes são válidas e vão de acordo com as condições de existência.

$log[log(3x - 5)] = 0 \\ log(3x - 5) = 10^0 \\ log(3x -5) = 1 \\ 3x - 5 = 10^1 \\ 3x - 5 = 10 \\ 3x = 10 + 5 \\ 3x = 15 \\ \\ x = \frac{15}{3} \\ \\ x = 5$

$log_2(2x + 10) - log_4(x + 1) = 3 \\ \\ log_2(2x + 10) - \frac{1}{2}.log_2(x + 1) = 3 \\ \\ log_2(2x + 10) - log_2 \sqrt{x + 1} = 3 \\ \\ log_2 ( \frac{2x + 10}{ \sqrt{x + 1} } ) = 3 \\ \\ \frac{2x + 10}{ \sqrt{x + 1}} = 2^3 \\ \\ \sqrt{x + 1} = \frac{2x + 10}{8} \\ \\ x+ 1 = (\frac{2x + 10}{8})^2 \\ \\ x+ 1 = \frac{4x^2 + 40x + 100}{64} \\ \\ 64(x + 1) = 4x^2 + 40x + 100 \\ 64x + 64 = 4x^2 + 40x + 100 \\ 4x^2 - 24x + 36 = 0 \\ x^2 -6x + 9 = 0 \\ x_1 + x_2 = 6 \\ x_1.x_2 = 9 \\ x_1 = x_2 = 3$

Exercícios bons para treinar logaritmos.

Answer 2

O valor de x em cada log:

1) x = 254/31

2) x1 = 6 e x2 = -2

3) x = 5

4) x = 3

Para solucionar a questão é necessária efetuar  um logaritmo, para isso precisa encontrar um número que, quando elevamos a base, resulte no logaritmando.

Por exemplo,  o logaritmo de 49 na base 7 devemos encontrar um número que, quando elevamos a base 7, resulte em 49 que é 2, pois 7 elevado a 2 é 49.

As propriedades são;

Propriedade 1: loga(b.c) = logab + logac.  

Propriedade 2: logab/c = logab - logac.  

Propriedade 3: logabc = c.logab.  

Propriedade 4: logab = logcb/logca.  

Propriedade 5 : logca . logab = logcb.

Analisando:

$\mathrm{Adicionar\:}\log _2\left(x-8\right)\mathrm{\:a\:ambos\:os\:lados}$

$\log _2\left(x-2\right)-\log _2\left(x-8\right)+\log _2\left(x-8\right)=5+\log _2\left(x-8\right)}$

Simplificando:

$\log _2\left(x-2\right)-\log _2\left(x-8\right)+\log _2\left(x-8\right)=5+\log _2\left(x-8\right)$

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

$x-2=32\left(x-8\right)$

Resolvendo:

x = 254/31

   2.

$\log _3\left(x^2+5x+15\right)-\log _3\left(x+3\right)=2$

Aplicando a propriedade:

$\log _3\left(x^2+5x+15\right)-\log _3\left(x+3\right)+\log _3\left(x+3\right)=2+\log _3\left(x+3\right)$

Simplificando:

$\log _3\left(x^2+5x+15\right)=2+\log _3\left(x+3\right)$

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

$x^2+5x+15=9\left(x+3\right)$

x = 6; x = -2

3.

Log[log(3x - 5)] = 0

log(3x-5) = 10⁰

log( 3x - 5) = 1

3x - 5 = 10¹

3x - 5 = 10

x = 5

4.

$\log _2\left(2x+10\right)-\log _4\left(x+1\right)=3$

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

$\left(2x+10\right)^2=64\left(x+1\right)$

Resolvendo: (2x + 10)² = 64(x + 1)

x = 3

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