Question

A lei de Gauss pode ser descrita como a integral em uma superfície fechada do fluxo de campo elétrico sendo igual a carga q dividido por ε0 . Qual das afirmações abaixo a respeito da carga q é verdadeira?

(a) A carga q é a soma de todas as cargas.
(b) A carga q é a soma de todas as cargas da superfície gaussiana.
(c) A carga q é a soma de todas as cargas envolvidas pela superfície gaussiana.
(d) O campo elétrico produzido pela carga q é zero no interior da superfície gaussiana.
(e) A carga q é a carga existente nos pontos em que o campo elétrico é constante.

Answer 1

A lei de Gauss pode ser escrita na forma:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0},$

onde $\rho = \frac{\textrm{d}q}{\textrm{d}v}$ designa a densidade de carga (carga por unidade de volume). Consideramos então um volume $V$ e integramos ambos os lados da equação:

$\displaystyle\iiint\limits_V \vec{\nabla}\cdot\vec{E}\textrm{ d}V = \displaystyle\iiint\limits_V\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\textrm{ d}V.$

Do lado esquerdo, aplicamos o teorema da divergência, escrevendo o integral como um fluxo através da superfície $S$ que limita $V$ ($S = \partial V$):

$\displaystyle\iiint\limits_V \vec{\nabla}\cdot\vec{E}\textrm{ d}V = \iint\limits_S \vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{s}$

Do lado direito, a integração da densidade de carga no volume dá a carga contida nesse volume, ou seja, dá a carga envolvida pela superfície $S$:

$\displaystyle\iiint\limits_V\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\textrm{ d}V = \dfrac{1}{\varepsilon_0}\underbrace{\iiint\limits_V\rho\textrm{ d}V}_{=q} = \dfrac{q}{\varepsilon_0}.$

Obtemos assim a equação na forma descrita no enunciado:

$\displaystyle \iint\limits_S \vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{s} = \dfrac{q}{\varepsilon_0}.$

Assim, fica claro que a resposta correta é a opção (c): a carga $q$ é a soma de todas as cargas envolvidas pela superfície gaussiana.