Question

A interseção do plano π:3x+2y-4z-12=0 com os planos coordenados forma um tetraedro. Determine o volume deste tetraedro.

Answer 1

Olá.

Sabemos que se escrevermos a equação como

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Teremos que o plano intercepta x, y, z em a, b e c, respectivamente.

Assim, façamos o seguinte:

$3x+2y-4z=12\\\\\dfrac{x}{\frac{12}{3}}+\dfrac{y}{\frac{12}{2}}+\dfrac{z}{-\frac{12}{4}} = 1\\\\\\\dfrac x4+\dfrac y6+\dfrac{z}{-3} =1$

Assim, o plano intercepta em (4,0,0); (0,6,0) e (0,0,-3)

Podemos calcular o volume do seguinte modo:

Observamos que o sólido formado é uma pirâmide na qual a base são os vértices (0,0); (4,0) e (0,6), no plano oxy:

Esse triângulo retângulo tem base 4 e altura 6. Sua área vale:

$A=\dfrac{4\cdot 6}{2} = 12$

A altura vale as três unidades em z. Assim, o volume da pirâmide será:

$V=\frac13 Ah\\\\V=\frac13 \cdot12\cdot 3\\\\ \boxed{\boxed{V = 12\ u.v.}}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: