Question

A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone.

Answer 1

Boa noite

Achando a altura do cone temos:

$V_{prisma} = 2V_{cone} \\ \\ A_{b}*h_{p} = 2*\frac{1}{3}A_{b}}*h_{cone} \\ \\h_{p}=\frac{2}{3}*h_{c} \\ \\ h_{c} = \frac{3h_{p}}{2} \\ \\ h_{c} = (3*12)/2 \\ \boxed{\\h_{c} = 18cm}$

Como sabemos a altura e o valor da geratriz do cone, agora podemos achar o valor do raio da circunferência da base, usando o teorema de Pitágoras:

$20^{2} = 18^{2}+R^{2} \\ \\ R= \sqrt{400-324} \\ \\ R=2 \sqrt{19} \approx 8,72\ cm$

Em posse desses dados, agora podemos achar:
⇒Área lateral

$A_{lateral} = \pi Rg \\ \\ A_{lateral}= \pi* 2 \sqrt{19} *20 \\ \\ \boxed{A_{lateral} \approx 547,76\ cm^{2}}$

⇒ Área total

$A_{total} = A_{base}+A_{lateral} \\ \\ A_{total} = \pi (2 \sqrt{19})^{2}+ 547,76 \\ \\ A_{total}= 238,76+547,76 \\ \\ \boxed{A_{total} \approx 768,52\ cm^{2}}$

⇒ Volume do cone

$V_{cone}=\frac{1}{3}A_{b}}*h_{cone} \\ \\ V_{cone} = \frac{1}{3}\pi (2 \sqrt{19})^{2}*18 \\ \\ \boxed{V_{cone}=456\pi\ cm^{3}}$

Bons estudos =D