Question

Determine os valores de k para os quais a equação
(2k − 3)x2 − (5k + 6)x + k + 4 = 0 .
a) Tenha raízes simétricas
b) Tenha umasó raiz nula

Answer 1

Isto é uma equação do 2º grau. Como o exercício envolve as raízes, precisamos usar as relações entre raízes e coeficientes.
Os coeficientes são:
a = 2k-3
b = -5k-6
c = k+4

Letra A

Para que as raízes sejam simétricas, a soma delas é igual a 0. Sabemos que a soma das raízes é igual ao quociente (-b/a) da equação. Assim, basta fazer (-b/a) = 0:

$\frac{-b}{a}=0 \\ \\ \frac{-(-5k-6)}{2k-3}=0 \\ \\ 5k+6 = 0 \\ k=\frac{-6}{5}$

Letra B
Para que a equação tenha uma raiz nula, ou seja x=0, basta substituir x=0 na equação.

$(2k-3)x^{2} - (5k+6)x+k+4=0 \\ (2k-3)*0^{2} - (5k+6)*0+k+4=0 \\ k+4=0 \\ k=-4$