Question

A função f: r− {−1} → r − {1}, definida por f(x) 1 x = é invertível. Considerando-se g sua inversa, o valor positivo de k, para o qual f(k) g(k) 3, = é igual a

Answer 1

Através dos cálculos realizados, concluímos que o valor de k positivo para o qual f(k) + g(k) = √3  é igual a √3/3. Logo, a alternativa correta é a d).

Função Inversa

Seja f a função definida por  $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$. Podemos determinar a sua função inversa da seguinte forma:

$\begin{array}{l}\quad\;\;y=\dfrac{x}{1+x}\\\\ y(1+x)=x\\\\y+xy=x\\\\y+xy-x=0\\\\ xy-x=-y\\\\ x(y-1)=-y\\\\ x=\dfrac{-y}{y-1}\end{array}$

Assim, sendo g a função inversa de f, temos que  $g(x)=\dfrac{-x}{x-1}$

Com isto, vamos resolver a equação dada.

$\begin{array}{l}\quad\;\;f(k)+g(k)=\sqrt{3}\\\\\dfrac{k}{1+k}+\dfrac{-k}{k-1}=\sqrt{3}\\\\\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{-k}{k-1}=\sqrt{3}\\\\\dfrac{k(k-1)}{(k+1)(k-1)}+\dfrac{-k(k+1)}{(k-1)(k+1)}=\sqrt{3}\\\\\dfrac{k^2-k}{k^2-1}+\dfrac{-k^2-k}{k^2-1}=\sqrt{3}\\\\\dfrac{k^2-k-k^2-k}{k^2-1}=\sqrt{3}\\\\\dfrac{-2k}{k^2-1}=\sqrt{3}\\\\-2k=\sqrt{3}(k^2-1)\\\\-2k=\sqrt{3}k^2-\sqrt{3}\\\\\sqrt{3}k^2+2k-\sqrt{3}=0\end{array}$

Aplicando a Fórmula de Bhaskara:

$\begin{array}{l}\quad\;\;k=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-4\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+4(\sqrt{3})^2}}{2\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+4\times3}}{2\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2\sqrt{3}}\\\\k=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-2\pm4}{2\sqrt{3}}\\\\k=\dfrac{-1\pm2}{\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-1-2}{\sqrt{3}}\quad\vee\quad k=\dfrac{-1+2}{\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-3}{\sqrt{3}}\quad\vee\quad k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\\ k=\dfrac{-3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}\quad\vee\quad k=\dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}\\\\k=\dfrac{-3\sqrt{3}}{3}\quad\vee\quad k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\ k=-\sqrt{3}\quad\vee\quad k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Assim, conclui-se que existem dois valores de k para os quais esta equação é verdadeira:  $k\in\left\{-\sqrt{3}\;;\;\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right\}$.

Desta forma, a resposta correta é a alternativa d.

Lembrando que o enunciado está incompleto, tarefa completa:

" (UECE-2020) Questão 07. A função f: |R - {-1} → |R - {1}, definida por f(x) = x/(1 + x), é invertível. Considerando-se g sua inversa, o valor positivo de k, para o qual f(k) + g(k) = √3, é igual a

A. 3√3.

B. 2√3.

C. √3.

D. √3/3. "

Para mais exercícios sobre Função Inversa, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/1449513

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