Question

Lista de exercícios V
Professor David Zavaleta Villanueva

Limites trigonométricos

3)

$\large\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(x)}{Sen(6x)-Sen(7x)}\right)$

Answer 1

Usando a propriedade da diferença entre dois senos e o limite fundamental da trigonometria podemos concluir que quando X tende a 0 a função tende para

$\large\text{ \boxed{\boxed{-1}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\Large\lim _{x\to 0}\left(\frac{Sen \left(x\right)}{Sen \left(6x\right)-Sen \left(7x\right)}\right)$

Perceba que quando substituirmos X por 0  a função tenderá para uma indeterminação

$\arge\lim _{x\to 0}\left(\frac{Sen \left(x\right)}{Sen \left(6x\right)-Sen \left(7x\right)}\right)\Rightarrow \frac{Sen(0)}{Sen(0)-Sen(0)}\Rightarrow \dfrac{0}{0}$

Então vamos usar alguma propriedade matemática para fazer essa função não tender a uma indeterminação

Perceba que no denominador temos uma diferença de senos. E a diferença de senos é dada pela seguinte relação trigonométrica

$\arge\text{ \boxed{Sen(a)-Sen(b)=2\cdot Cos\left(\frac{a+b}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{A-B}{2} \right)} }$

Então vamos Reescrever no limite

$\large\text{ \lim _{x\to 0}\left(\frac{Sen \left(x\right)}{Sen \left(6x\right)-Sen \left(7x\right)}\right)\Rightarrow \lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(x)}{2\cdot Cos\left(\frac{6x+7x}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{6x-7x}{2} \right)}\right) }$

Colocando as constante para fora e simplificando o denominador temos.

• Lembre-se que $\boxed{Sen(-x)= -Sen(x)}$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(x)}{2\cdot Cos\left(\frac{6x+7x}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{6x-7x}{2} \right)}\right) \Rightarrow-\dfrac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(x)}{ Cos\left(\frac{13x}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{x}{2} \right)}\right) }$

$\large\text{ -\dfrac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(x)}{ Cos\left(\frac{13x}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \Rightarrow }$

Agora podemos transforma esse limite em dois limites

$\large\text{ -\dfrac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(x)}{ Cos\left(\frac{13x}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ -\dfrac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(x)}{ Sen\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{Cos(\frac{13x}{2} )} \right) \Rightarrow }$

Perceba que temos um limite $\dfrac{Sen(Ax)}{Sen(BX)}$ e esse limite é um limite conhecido pela propriedade

$\dfrac{Sen(Ax)}{Sen(BX)}= \dfrac{A}{B}$

Então temos:

$\large\text{ -\dfrac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{Sen(x)}{ Sen\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{Cos(\frac{13x}{2} )} \right) \Rightarrow }$

$\large\text{ -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2} } \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{Cos(\frac{13x}{2} )} \right) \Rightarrow -\frac{2}{2} \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{Cos(\frac{13x}{2} )} \right) }$

Agora não temos mais indeterminação basta substituir X por 0

$\large\text{ -\frac{2}{2} \cdot \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{Cos(\frac{13x}{2} )} \right)\Rightarrow -1 \cdot \frac{1}{Cos(\frac{13\cdot 0}{2} )} \Rightarrow -1\cdot \frac{1}{Cos(0)} \Rightarrow -1\cdot 1\Rightarrow -1 }$

Ou seja quando X tende a 0 a função tende a -1

Link com outras questões da lista:

1) https://brainly.com.br/tarefa/54066896

2)https://brainly.com.br/tarefa/54067176