Question

A função f definida por f(x)= 1+x^2 é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o dominio (D(f)) e a imagem...

fiquei entre a opção A e a opção E, o gabarito é "E"
o fato do domínio estar no intervalo [0,+infinito[
não intendi.

Answer 1

Boa tarde.

Vejo que notou a que a imagem é Im = [1, ∞], então vamos refletir sobre f(x) = 1 + x²

Essa função é par, simétrica em relação a Oy. Para termos ela bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora. Para ser injetora, cada valor de x deve se relacionar a um de y, e cada valor de y deve possuir apenas um correspondente em x. A parábola como um todo não satisfaz isso, por ser par, mas apenas metade dela sim. Então poderíamos escolher a acima de 0 ou abaixo. Para evitar muitas manipulações, tomemos a parte x > 0, que será nosso domínio.

Answer 2

Para que a função seja Bijetora o Item correto é o item:

E) : D(f) = [0,+∞[  e  Im(f) = [1,+∞[

Função Bijetora:

A função bijetora é aquela que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, logo precisamos entender o que é uma função injetora e uma função sobrejetora.

Função Injetora:

Um função f: A → B é Injetora se dados quaisquer elementos a e b, com a ≠ b, pertencentes ao domínio da função (no caso, A), então, f(a) ≠ f(b).

Função Sobrejetora:

Já uma função sobrejetora ocorre quando todos os elementos do seu contradomínio estão relacionados a, pelo menos, um elemento do domínio.

Temos que lembrar que a Imagem de uma função é o conjunto composto por todos resultados possíveis de uma função. Ora, mas se em uma função sobrejetora os elementos do seu contradomínio estão relacionados a, pelo menos, um elemento do domínio, significa dizer que em uma função sobrejetora:

$Im(f) = CD(f)$

Voltando para o que a questão pede:

$f(x) = 1 + x^{2}$

Observe o seguinte, o gráfico da função é uma parábola com ponto mínimo 1. Se o Domínio fosse todos os números Reais, os valores negativos para x gerariam o mesmo valor para y, logo , para que a função seja Injetora, devemos considerar no Domínio somente os positivos ou somente os negativos, o que descarta os itens A e C da questão.

Agora para ser sobrejetora devemos lembrar que a Imagem deve ser igual ao contradomínio e como o menor valor possível da função é 1, o CD deve ser 1 ou maior também.

Assim, como precisamos que a função seja injetora e sobrejetora ao mesmo tempo para ser bijetora, somente o item E preenche todos os requisitos.

Para saber mais sobre função Bijetora, veja: https://brainly.com.br/tarefa/3488704