Question

Determine às equações das retas tangentes as curvas:

y=2x-x^3,(-2,4)
y= - 8/√x , (4,-4)

Answer 1

$f(x)=2x-x^3$

derivando a função
$f'(x)=2-3x^2$

o coeficiente angular é a derivada da função calculada no ponto de tangencia
o ponto de tangencia é (-2,4) ...então calcula a derivada no ponto x=-2
e vc tera o coeficiente angular (m)
$m=f'(-2)\\\\m= 2-3*(-2)^2\\\\m= -10$

a equação da reta é 
$y=m(x-x_0)+y_0$

m = coeficiente angular = -10
x0, y0 = ponto por onde a reta passa, (ponto de tangencia) = (-2,4)

$y=-10*(x-(-2))+4\\\\y=-10x-20+4\\\\\boxed{y=-10x-16}$

2)

$f(x)= \frac{-8}{\sqrt{x}} \\\\f(x)=-8*x^{- \frac{1}{2} }\\\\f'(x)=-8* \frac{-1}{2}*x^{- \frac{1}{2}-1 } \\\\f'(x)=4*x^{ \frac{-3}{2} }\\\\\boxed{f'(x)= \frac{4}{\sqrt{x^3}} }\\\\m=f'(4)= \frac{4}{\sqrt{4^3}} = \frac{1}{2}$

equação da reta tangente

$y= \frac{1}{2}*(x-4)+(-4)\\\\y= \frac{x}{2}-2-4 \\\\y= \frac{x}{2}-6$