Question

A fração $\frac{37}{13}$ pode ser escrita na forma $2+ \frac{1}{ x+\frac{1}{y+ \frac{1}{z} } }$, em que x, y e z são números naturais. Então x+y+z é igual a:

a)9
b)8
c)7
d)6
e)5

Gabarito: b

Answer 1

Olá, 

--> 37/13= 2 + 11/13 = 2+1/(13/11)= 

2+1/(1+2/11)= 

2+1/[1+1/(11/2)]= 

2+1/[1+1/(5+1/2)] 

Logo, x=1; y=5; z=2 

Somando obtemos: 5+2+1 = 8

Resposta letra B.

Answer 2

Olá!

$\\ \mathsf{2 + \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{37}{13}} \\\\\\ \mathsf{2 + \frac{1}{x + \frac{1}{\frac{yz + 1}{z}}} = \frac{37}{13}} \\\\\\ \mathsf{2 + \frac{1}{x + \frac{z}{yz + 1}} = \frac{37}{13}} \\\\\\ \mathsf{2 + \frac{1}{\frac{xyz + x + z}{yz + 1}} = \frac{26 + 11}{13}} \\\\\\ \mathsf{2 + \frac{yz + 1}{xyz + x + z} = 2 + \frac{11}{13}}$

 Com isso, tiramos que:

$\mathsf{2 + \frac{yz + 1}{xyz + x + z} = 2 + \frac{11}{13}} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{yz + 1 = 11 \Rightarrow yz = 10 \qquad \quad \ (i)} \\ \mathsf{xyz + x + z = 13 \qquad \qquad \qquad (ii)}\end{cases}$

 Substituindo (i) em (ii):

$\mathsf{x \cdot 10 + x + z = 13} \\\\ \boxed{\mathsf{11x + z = 13}}$


 Ademais, de acordo com o enunciado, $\mathsf{x, y, z \in \mathbb{N}}$. Portanto, da equação $\mathbf{11x + z = 13}$, temos que: ou $\mathsf{x = 0}$ e $\mathsf{z = 13}$; ou $\mathsf{x = 1}$ e $\mathsf{z = 2}$.

 Caso "x" seja igual a zero e "z" igual a treze, então resolvendo o sistema, o valor de "y" será 10/13; todavia, $\mathsf{\frac{10}{13} \notin \mathbb{N}}$. Desse modo, podemos afirmar que, $\boxed{\mathsf{x = 1}}$ e $\boxed{\mathsf{z = 2}}$.

 Com efeito,

$\\ \mathsf{yz = 10} \\\\ \mathsf{2y = 10} \\\\ \boxed{\mathsf{y = 5}}$


 Por fim,

$\\ \mathsf{x + y + z = 1 + 5 + 2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x + y + z = 8}}}$