Question

A figura representa uma área sombreada limitada pelos gráficos das funções y = sen x e y = – sen x, no intervalo: .

Determine essa área.

Answer 1

Olá

Utilizarei integral simples para resolver essa questão.

Para calcularmos a área entre as curvas seguiremos os seguintes passos:

1) Determinar quem é a curva f (curva superior) e quem é a curva g (curva inferior);
2) Determinar os limites de integração;
3) Escrever uma fórmula para f(x)-g(x);
4) Integrar f(x)-g(x).

Perceba que as áreas sombreadas são simétricas. Então, vamos calcular apenas um lado e, no final, multiplicar por 2.

Escolherei a área sombreada da direita.

Seguindo os passos, temos que f(x) = sen(x) e g(x) = -sen(x).

Os limites de integração, olhando o gráfico, vemos que vai de 0 até $\frac{pi}{2}$.

A nossa fórmula será: sen(x) - (-sen(x)) - sen(x) + sen(x) = 2 sen(x).

Agora, vamos integrar:

$\int\limits^ \frac{pi}{2} _0 {2sen(x)} \, dx = 2 \int\limits^ \frac{pi}{2} _0 {sen(x)} \, dx = 2 (-cos(x))$

Aplicando os limites de integração:

$2[-cos( \frac{pi}{2} ) - (-cos0)] = 2[0 - (-1)] = 2$

Logo, a área total é igual a 2.2 = 4 u.a.