Question

A equação
$\frac{x + \sqrt{x} }{x - 1} = \frac{5}{4}$
em que X é um número real apresenta:
a) uma única raiz, que é maior que 10
b) um única raiz, que é menor que 10
c) duas raízes cuja soma é 26
d) duas raízes, mas só uma é maior que 10
e) duas raízes que são quadrados perfeitos
A resposta é letra A mas quero saber como chegou a essa conclusão. Obrigada!

Answer 1

$\frac{x+ \sqrt{x} }{x-1} = \frac{5}{4} \\ \\ 4(x+ \sqrt{x}) = 5(x-1) \\ \\ 4x + 4 \sqrt{x} = 5x - 5 \\ \\ 4 \sqrt{x} = 5x - 4x - 5 \\ \\ 4 \sqrt{x} = x - 5 \\ \\ (4 \sqrt{x} )^{2}=(x-5)^{2} \\ \\ 16.x=x^{2}-10x+25 \\ \\ x^{2}-26x+ 25=0 \\ \\ D=(-26)^{2}-4(1)(25) = 676-100=576 \\ \\ \sqrt{D} = \sqrt{576} =24 \\ \\ x' = \frac{(26+24)}{2} = \frac{50}{2} =25 \\ \\ x'' = \frac{(26-24)}{2} = \frac{2}{2} =1 (*)$

* Observe que há duas raízes: x' = 25 e x'' = 1. No entanto, se substituirmos x = 1 na equação original, teremos no denominador o valor 0. O que é uma indeterminação.

Logo, somente a raiz 25 serve. Assim, há uma única raiz que é maior que 10.

Alternativa A)

Espero ter ajudado.

Answer 2

  ( x + Vx )/ ( x - 1) =  5/4
multiplica em cruz
4 ( x + Vx) = 5 ( x - 1)
4x + 4Vx = 5x - 5
4Vx =  5x - 5 - 4x
4Vx = x - 5
elevando tudo ao quadrado para eliminar o radical
( 4Vx)²  = ( x - 5)²
( 16 * x) = x² - 10x + 25
16x - x² + 10x - 25 = 0
26x - x² - 25 = 0
x² - 26x + 25 = 0
delta = 676 - 100 = 576 ou +-V576 = +-24 ***

x = ( 26 +-24)/2
x1 =50/2 = 25 ****
x2 = 2/2 = 1 ***

testando as raizes
x = 1
(1 + V1 )/ ( 1 - 1 ) = 5/4
( 1 + 1 )/ 0 = 5/4
2/0  = 5/4
raiz 1 não serve

x = 25
( 25 + V25)/ ( 25-1)  = 5/4
( 25 + 5)/(24) = 5/4
30/24 = 5/4
5/4 = 5/4   confere
logo só há 1 solução  x = 25
x > 10   ( A)