Question

A equação do plano tangente ao parabolóide z=2x²+y² no ponto (1,1,3) é dada por:


Alternativa 1:
z=x+y+1.

Alternativa 2:
z=-x+y+3.

Alternativa 3:
z=4x-2y+1.

Alternativa 4:
z=4x+2y-3.

Alternativa 5:
z=-4x+2y+5.

Answer 1

Vamos lá

A equação do plano tangente ao paraboloide

z = 2x² + y² no ponto P(1,1,3) é dada por:

Resolução

f(x) = 2x² + y²

derivadas parciais

fx(x0.y0) = 4x,  fx(1,1) = 4

fy(x0, y0) = 2y, fy(1,1) = 2

equação do plano tangente no ponto P(1, 1, 3)

z - 3 = 4*(x - 1) + 2*(y - 1)

z = 4x - 4 + 2y - 2 + 3

z = 4x + 2y - 3

Alternativa 4: z = 4x + 2y - 3

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação do plano tangente ao referido paraboloide é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: z = 4x + 2y - 3\:\:\:}}\end{gathered} }$

Dados:

           $\Large\begin{cases}\tt p: z = 2x^{2} + y^{2}\\\tt T(1, 1, 3)\end{cases}$

Se estamos querendo encontrar a equação do planto tangente `a superfície do paraboloide pelo ponto de tangência "T", devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf (I)\end{gathered}$     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt z - f(T) = \frac{\partial f}{\partial x}(T)(x - x_ {T}) + \frac{\partial f}{\partial y}(T)(y - y_ {T}) \end{gathered}$

Para usarmos esta formula precisamos:

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x":

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{\partial f}{\partial x}(T) = 2\cdot2x^{2 - 1} = 4x \end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y":

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{\partial f}{\partial y}(T) = 2\cdot1 y^{2 - 1} = 2y \end{gathered}$

• Encontrar o vetor gradiente de "z":

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \nabla z(x, y) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}(T), \frac{\partial f}{\partial y}(T) \Bigg)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \nabla z(x, y)= (4x, 2y)\end{gathered}$

         Se:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = 1\:\:\:e\:\:\:y = 1\end{gathered}$

         Então temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \nabla z(1, 1) = (4\cdot1, 2\cdot1)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \nabla z(1, 1) = (4, 2)\end{gathered}$

• Encontrar o valor de f(T):

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(T) = f(1, 1) = 2\cdot1^{2} + 1^{2} = 2 + 1 = 3\end{gathered}$

• Montar a equação do plano tangente ao paraboloide:

           Para isso devemos substituir os valores das derivadas parciais, coordenadas do ponto de tangencia e o valor da função no ponto "T" na equação "I".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt z - 3 = 4(x - 1) + 2(y - 1)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt z - 3 = 4x - 4 + 2y - 2\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt z = 4x + 2y - 4 - 2 + 3\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt z = 4x + 2y - 3\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \pi: z = 4x + 2y - 3\end{gathered}$

Saiba mais:

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Solução gráfica: