Question

A equação da circunferência com diâmetro (AB), sendo A(-1, 3) e B(5,1) é: 


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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(x-2)^2+(y-2)^2=10}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para determinarmos a equação da circunferência cujo diâmetro é o segmento $\overline{AB}$, tal que $A~(-1,~3)$ e $B~(5,~1)$, devemos relembrar de algumas propriedades.

Lembre-se que a forma reduzida da equação da circunferência de centro $(x_c,~y_c)$ e raio $r$ é dada por:

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$

O centro será calculado a partir do ponto médio do segmento $\overline{AB}$. Dados dois pontos $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ é dado pelas fórmulas:

$x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ e  $y_m=\dfrac{y_1+y_2}{2}$

Substituindo as coordenadas dos pontos $A$ e $B$, teremos

$x_m=\dfrac{-1+5}{2}$ e  $y_m=\dfrac{3+1}{2}$

Some os valores

$x_m=\dfrac{4}{2}$ e  $y_m=\dfrac{4}{2}$

Simplifique a fração

$x_m=2$ e  $y_m=2$

Dessa forma, determinamos também o centro da circunferência $(2,~2)$.

A distância entre um dos pontos extremos do diâmetro e o centro é o raio, o qual descobriremos pela fórmula  $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Substituindo as coordenadas do centro e qualquer um dos extremos, teremos

$d=\sqrt{(2-5)^2+(2-1)^2}$

Some os valores e calcule as potências

$d=\sqrt{(-3)^2+1^2}\\\\\\ d=\sqrt{9+1}$

Some os valores

$d=\sqrt{10}$

Dessa forma, como $d=r$, vemos que $r=\sqrt{10}$.

Substituindo as coordenadas do centro e a medida do raio na equação reduzida, teremos

$(x-2)^2+(y-2)^2=(\sqrt{10})^2$

Calcule a potência

$(x-2)^2+(y-2)^2=10$

Esta é a equação reduzida desta circunferência.

Answer 2

Resposta:

Oi!

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente buscar essa extremidade do diâmetro:

$d_{AB}=\sqrt{(5-(-1))^{2}+(1-3)^{2} } =\sqrt{6^{2}+(-2)^{2} } =\sqrt{36+4 } =\sqrt{40}$

O raio equivale a 1/4√40 = √10

Sendo A(-1, 3) e B(5,1) com ponto médio (2, 2), temos:

$(x - a)^{2} + ( y - b)^{2} = r^{2} \\\\(x -2)^{2} + ( y - 2)^{2} =(\sqrt{10}) ^{2}\\\\Equacao-Reduzida\\(x -2)^{2} + ( y - 2)^{2} =10$