Matemática, perguntado por michellebarros33, 5 meses atrás

A duração da vida de uma peça de equipamento é tal que σ =5 horas. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo–se média de 500 horas. Desejamos construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança.
Escolha uma:
a.
[494,02 ; 502,98]

b.
[499,02 ; 500,98]

c.
[497,03 ; 503,89]

d.
[495,03 ; 505,89]

e.
[489,02 ; 501,98]

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

O intervalo de confiança descreve a variabilidade entre a medida obtida em um estudo e a medida real na população (o valor verdadeiro). Corresponde a uma faixa de valores, cuja distribuição é normal e na qual o valor real de uma determinada variável é encontrado com alta probabilidade. Este intervalo pode ser determinado pela fórmula:

$I_C=\mu\pm Z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Onde:

$\boxed{\begin{array}{c}\sf I_ C= intervalo ~de ~confianc_{\!\!,}a\\\\\sf \mu= m\'edia ~da~ amostra \\\\ \sf Z_{\frac{\alpha}{2}} = valor~ do~ n\'ivel ~de~ confianc_{\!\!,}a\\\\\sf \sigma = desvio~ padr\tilde{\sf a}o ~da~ amostra\\\\ \sf n = tamanho~ da~ amostra \end{array}}$

Podemos ver que em nosso problema não conhecemos um dado essencial para a solução do problema, mas quais serão esses dados? Este dado é o valor do nível de confiança pois temos um nível de confiança igual a 95%, este nível de confiança não deve ser encontrado em porcentagem mas sim em números decimais, para determinar o valor do nível de confiança podemos levar em consideração a fórmula:

$P(z \leqslant Z_{\frac{\alpha}{2}} )= \dfrac{1 + NC}{2} \\\\\\ P(z\leqslant Z_{\frac{\alpha}{2}} )= \dfrac{1+0,95}{2}\\\\\\ P(z\leqslant Z_{\frac{\alpha}{2} })= \dfrac{1,95}{2}\\\\\\ P(z\leqslant Z_{\frac{\alpha}{2} })= 0,975$

O resultado desta operação é dado pela distribuição normal, então para determinar o valor do intervalo de confiança podemos ver uma tabela de distribuição normal, verificando em uma tabela de distribuição normal podemos ver que 0,975 é igual a 1,96, então o valor do intervalo de confiança é igual a 1,96. Anotando nossos dados temos:

$\boxed{\begin{array}{c}\sf I_ C= ?\\\\\sf \mu= 500 ~horas\\\\ \sf Z_{\frac{\alpha}{2}} = 1,96\\\\\sf \sigma = 5~horas\\\\ \sf n = 100 \end{array}}$

Substituindo nossos dados na fórmula do intervalo de confiança:

$I_C=500\pm 1,96\cdot\dfrac{5}{\sqrt{100}}\\\\\\ I_C=500\pm\dfrac{9,8}{\sqrt{100}} \\\\\\ I_C=500\pm \dfrac{9,8}{10}\\\\\\ I_C=500\pm0,98$

Vamos observar bem, pois nesta expressão temos um sinal $\pm$ este sinal é conhecido como mais ou menos, é conhecido assim pois este sinal pode indicar duas operações diferentes, sendo estas um soma e uma resta, onde a expressão com a soma corresponde ao intervalo de confiança superior e a resta o intervalo de confiança inferior.