Question

A distância entre os pontos A( -2, y) e B( 6, 7) é 10. Determine o valor da coordenada de y do ponto A.

Answer 1

Olá, boa noite ^_^.

Assunto: Geometria Analítica

Para realizar esse cálculo da distância entre os pontos, vamos usar essa fórmula:

$\boxed{d = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } }$

Onde os elementos xb, xa, yb e ya são dados que as coordenadas A e B nos fornecem.

Uma coordenada possui essa organização:

C (abscissa, ordenada)

Abscissa → Valor de "x" do ponto

Ordenada → Valor de "y" do ponto

Sabendo disso, vamos achar os valores das coordenadas A e B.

A (-2, y) → Xa = -2, Ya = y

B (6, 7) → Xb = 6, Yb = 7

A questão nos informa que o valor de "d" é igual a 10.

d = 10

Substituindo:

$d = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } \\ \\ 10 = \sqrt{(6 - ( - 2)) {}^{2} +(7 - y) {}^{2} } \\ \\ 10= \sqrt{(6 + 2) {}^{2} + (7 - y) {}^{2} } \\ \\ 10 = \sqrt{(8) {}^{2} + 49 - 14y + y {}^{2} } \\ \\ 10 = \sqrt{64 + 49 - 14y + y {}^{2} } \\ \\ 10 = \sqrt{y {}^{2} - 14y + 113} \\ \\ (10) {}^{2} = ( \sqrt{y {}^{2} - 14y + 113} ) {}^{2} \\ \\ 100 = y {}^{2} - 14y + 113 \\ \\ y {}^{2} - 14y + 113 - 100 = 0 \\ \\ \boxed{y {}^{2} - 14y + 13 = 0}$

Agora vamos resolver essa equação do segundo grau.

y² - 14y + 13 = 0

I) Coeficientes:

a = 1

b = -14

c = 13

II) Discriminante (∆):

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (-14)² - 4.1.13

∆ = 196 - 52

∆ = 144

III) Bháskara:

Y = -b ± √∆ / 2.a

Y = -(-14) ± √144 / 2.1

Y = 14 ± √144 / 2.1

Y' = 14 + 12 / 2

Y' = 26 / 2

Y' = 13

Y" = 14 - 12 / 2

Y" = 2 / 2

Y" = 1

O valor de y pode ser 13 ou 1, que resultará numa distância 10.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️