Question

A distância entre o ortocentro e o baricentro de um triângulo retângulo de hipotenusa 24 cm é:

Answer 1

Em um triângulo retângulo, os dois catetos são também alturas, o que implica em que o vértice que corresponde ao ângulo reto (A) é também o ortocentro (H) do triângulo.
Como o ângulo A medirá sempre 90º, o seu Lugar Geométrico é uma semi-circunferência cujo diâmetro é a hipotenusa (BC).
A mediana é o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
A mediana relativa ao lado A tem a sua medida invariável e igual à metade da hipotenusa, que é o raio da semi-circunferência.
Como a hipotenusa (24 cm) é o diâmetro da semi-circunferência, o raio é igual a 12 cm e, consequentemente, a mediana relativa ao lado BC (A1Ma) mede também 12 cm:

A1Ma = 12 cm [1]

O baricentro (G) é o ponto de encontro das três medianas e divide a mediana na razão 2/3:
A1G1 = 2
A1Ma = 3

AnGn = 2
AnMa = 3
........
Como já vimos que o vértice A coincide com o ortocentro (H), podemos substituir o vértice A pelo ortocentro nas duas relações acima e ficamos com:

H1G1 = 2
H1Ma = 3

E a proporção fica:

H1G1/H1Ma = 2/3

Substituindo o valor de H1Ma obtido em [1]:

H1G1/12 = 2/3

Multiplicando-se os meios pelos extremos:

H1G1 × 3 = 12 × 2
H1G1 = 24 ÷ 3

H1G1 = 8 cm

R.: A distância entre o ortocentro e o baricentro é igual a 8 cm.

(Figura em anexo)