Question

A distância entre as retas paralelas r: x – y + 2 = 0 e s: 2x – 2y +k = 0 é igual a √2 se, e somente se:

a)k = 0 ou k = 8
b)k = - 4 ou k = 8
c)k = 4 ou k = - 8
d)k = 0 ou k = -4

Pfv me ajudem!!

Answer 1

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( a)\ k = 0\ ou\ k = 8 \Bigg)\bigg)\Big)\big))\ \ \ \LaTeX$

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Explicação passo-a-passo:__________✍

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Olá Raphaela, como estás nestes tempos de quarentena? Como vão os estudos à distância? Espero que bem.

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Temos que a equação geral para a distância entre duas retas é dada por

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$d_{(r1, r2)} = \dfrac{| c1 - c2 |}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\\\\\Para\ duas\ retas\ r_1\ e\ r_2\ escritas\ na\ forma\\\\\\\begin{cases} \ r1: ax + by = c1\\\\ \ r2: ax + by = c2\end{cases}$

Mas e se não lembrarmos da fórmula na hora h? Bom, podemos deduzir uma forma alternativa dela geometricamente da seguinte forma:

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Lembremos da equação geral das retas na forma de um polinômio de primeiro grau: y = ax + b, sendo a o coeficiente angular da reta (a inclinação dela com relação ao eixo x) e b o coeficiente linear da reta (o valor de y em que a reta cruza com o eixo y).

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Sendo r e s duas retas paralelas temos 3 possibilidades (sugiro que você pegue um papel, um lápis, trace três planos cartesianos distintos e em cada um deles trace as três possibilidades para visualizar melhor a explicação ☺)

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I) r e s são retas paralelas ao eixo x, ou seja, possuem inclinação zero e são, portanto, constantes em y (a=0) sendo, portanto, funções de grau zero.

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II) r e s são retas paralelas ao eixo y, ou seja, possuem inclinação de 90º e são, portanto, constantes em x não sendo, portanto, funções de y = f(x).

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III) r e s possuem inclinação diferente de 0º e de 90º e portanto ambas interceptam tanto o eixo x como o eixo y.

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Vamos verificar nossas retas:

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$r: y_r = 1x_r + 2\\\\\\a = 1\\b = 2\\\\\\s: y_s = 1x_s + k/2\\\\\\a = 1\\b = k/2$

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Portanto, como a ≠ 0, y = f(x) e a1 = a2 temos que ambas são paralelas e a inclinação delas corresponde a 1

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Sendo assim, poderemos encontrar a distância entre ambas, geometricamente, através de um triângulo retângulo formado entre os seguintes pontos

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$PA = (x_1, 0)\\\\PB = (x_2, 0)\\\\PC = (x_2, y_1)$

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PA e PB são os pontos em que ambas as retas interceptam o eixo x, ou seja, pontos em que y é igual a zero. Para encontrá-los basta que igualemos y à zero na equação de cada uma delas.

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$r: 0 = 1x_r + 2\\\\-2 = 1x_r\\\\\dfrac{-2}{1} = x_r\\\\x_r = -2\\\\\\s: 0 = 1x_s + k/2\\\\-k/2 = 1x_s\\\\\dfrac{-k/2}{1} = x_s\\\\x_s = -k/2\\\\\\PA = (-2, 0)\\\\PB = (-k/2, 0)$

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A distância entre eles PA e PB será de

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$d_x = | -2 - (-k/2) |\\\\d_x = | -2 + k/2 |\\\\d_x = | (k - 4) / 2 |$

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PC pode ser encontrado ao colocarmos o valor de x2, que encontramos no passo anterior para a reta s, na equação de r.

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$y_2 = 1 \cdot (-k/2) + 2\\\\y_2 = -k/2 + 2\\\\y_2 = (k - 4) / 2\\\\\\PC = (-k/2, (k - 4) / 2)$

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A distância entre PB e PC será de

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$d_y = | 0 - (k - 4) / 2 |\\\\d_y = | (-k + 4) / 2 |\\\\d_y = | (4 - k) / 2 |$

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Veremos em seguida que precisaremos saber o sen(α) para encontrarmos nossa distância entre as retas e, para isso, precisaremos encontrar antes a distância entre PA e PC. Pelo Teorema de Pitágoras temos que

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$D_{PA, PC} = \sqrt{((|k - 4) / 2|)^2 + ((|4 - k) / 2|)^2}\\\\\\D_{PA, PC} = \sqrt{2 \cdot (|k - 4) / 2|)^2}\\\\\\D_{PA, PC} = \sqrt{2} \cdot |(k - 4) / 2|$

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Com isso agora podemos observar que a altura do triângulo ABC com relação ao vértice B mede exatamente a distância entre as duas retas! (tendo em vista que ela é um segmento perpendicular à ambas as retas e que liga ambas) e para encontrá-la temos dois triângulos retângulos com um ângulo α, sendo um deles o nosso triângulo ABC e o outro o triângulo ABD (sendo D o ponto no segmento AC formado pelo segmento que sai do vértice B e vai de forma perpendicular até o segmento AC). Portanto, sendo ambos os triângulos congruentes (possuem um ângulo reto e um ângulo α) temos a relação de sen (α) para ambos de forma que

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$sen(\alpha) = \dfrac{| (4 - k) / 2 |}{\sqrt{2} \cdot |(k - 4) / 2|} = \dfrac{d_{r,s}}{| (k - 4) / 2 |}\\\\\\\dfrac{| (4 - k) / 2 |}{\sqrt{2} \cdot |(k - 4) / 2|} = \dfrac{d_{r,s}}{| (k - 4) / 2 |}\\\\\\\ d_{r,s} = \dfrac{| (k - 4) / 2 | \cdot | (4 - k) / 2 |}{\sqrt{2} \cdot (k - 4) / 2}\\\\\\ d_{r,s} = \dfrac{| (4 - k) / 2 |}{\sqrt{2}}$

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Com a informação de que $d_{r,s} = \sqrt{2}$ então temos que

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$\sqrt{2} = \dfrac{| (4 - k) / 2 |}{\sqrt{2}}\\\\\\(\sqrt{2})^2 = | (4 - k) / 2 |\\\\\\2 = | (4 - k) / 2 |\\\\\\2 = \pm (4 - k) / 2$

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E portanto

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2 = (4 - k) / 2

4 = 4 - k

k = 0

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e

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2 = -(4 - k) / 2

4 = -4 + k

k = 8

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➥ $\boxed{ \ \ \ k = 0\ ou\ k = 8 \ \ \ }$ ✅

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Bons estudos. ☕

(Dúvidas nos comentários)

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."