Question

A distância do centro da circunferência x2 + 2x + y2 - 4y + 2 = 0 à origem é (A) 3. (B) 45. (C) (D) 42. (E) 1.

Answer 1

Considerando que a equação reduzida da circunferência é dada por:

(X - xc)² + (Y - yc)² = r²

Sendo (xc, yc) o centro da circunferência e r o raio. 

A partir da equação geral, tentaremos obter a equação reduzida.

x² + 2x + y² -4y + 2 = 0

Podemos encontrá-la completando trinômios quadrados perfeitos de x e y

x² + 2x + y² -4y + 1 + 1 = 0
x² + 2x + 1 + y² -4y + 1= 0
(x + 1)² + y² - 4y + 1 = 0

Adicionando 3 nos dois lados da equação para completar o quadrado perfeito

(x + 1)² + y² - 4y + 1 + 3 = 0 + 3
(x + 1)² + y² - 4y + 4 = 3
(x+1)² + (y - 2)² = 3

Logo, o centro da circunferência é (-1, 2) e o raio é √3. 

A distancia do centro a origem O(0,0) é dada por:

d(c, O) = √((xc - 0)² + (yc - 0)²)
d(c,O) = √((-1 - 0)² + (2 - 0)²)
d(c,O) = √(1 + 4)
d(c,O) = √5

Logo, a distância do centro à origem é √5 e a alternativa correta é a letra B.