Question

A corrente de um circuito elétrico utiliza em seu cálculo o quociente entre dois números complexos, onde o numerador é a fonte de tensão de uma residência e o denominador é a carga de impedância. Do resultado deste cálculo utilizam-se as informações do módulo e do argumento para tomar as decisões. Se e são números complexos, tais que (Imagem em anexo) e , calcule o módulo e o argumento do número complexo.

Answer 1

Bom, como você deve saber números complexos têm duas representações: uma é a forma algébrica ou retangular; e a outra é a forma trigonométrica ou polar. Podemos simplesmente calcular na forma retangular e transformar-lo para a forma polar, desta forma encontraremos o módulo e o argumento. 

- Vamos resolver a operação, desta forma:

$c= \frac{- \sqrt{3}+i }{2i}\\\\ c=\frac{- \sqrt{3}+i }{2i}\cdot \frac{-2i}{-2i} \\\\ c= \frac{2 \sqrt{3}i-2i^2}{-4i^2} \\\\ c= \frac{2 \sqrt{3}i-2(-1)}{-4(-1)}\\\\ c= \frac{2 \sqrt{3}i+2}{4}\\\\ c= \frac{1+ \sqrt{3}i}{2}$

- Agora vamos transformar o valor que encontramos para sua forma polar.

A primeira parte é encontrar o módulo -- é só fazer a soma vetorial do termo real com o imaginário.

$\rho = \sqrt{ (\frac{1}{2}) ^2+( \frac{ \sqrt{3}}{2} )^2} \\\\ \rho = \sqrt{ \frac{1}{4}+ \frac{3}{4} }\\\\ \rho = \sqrt{ \frac{4}{4} } \\\\ \rho = 1$

Agora é só encontrar o argumento.

$cos(\theta)= \frac{ \frac{1}{2} }{1} \\\\ cos(\theta)= \frac{1}{2} \\\\ arccos( \frac{1}{2} )= \theta\\\\ \theta = 60^\circ$

Por fim, temos a seguinte resposta:

$c = 1 \angle60^\circ$

Onde:

$|c| = 1\\\\ arg(c) = 60^\circ$

Segue em anexo o gráfico para melhor compreensão.