Question

a altura relativa ao vértice A, do triângulo ABC, cuja base é formada pelos vértices B e C, sendo A(1,2), B(6,2), C(5,5), é igual a?

Answer 1

Primeiro vamos calcular a área do triângulo, a qual é definida pela metade do módulo do Determinante de suas coordenadas:
$A_{T}=\dfrac{1}{2}\cdot |D|$

Calculando o Determinante:

$D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\6 & 2 & 1\\5 & 5 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}1 & 2\\6 & 2\\ 5 & 5\end{matrix}=2+10+30-\left(10+5+12\right)=42-27=15$


Assim, a área do triângulo é:

$A_{T}=\dfrac{1}{2}\cdot |D|\Rightarrow A_{T}=\dfrac{1}{2}\cdot 15=7,5$


Como a área do triângulo também pode ser definida por
$A_{T}=\dfrac{b\cdot h}{2}$

Vamos calcular a medida da base BC:
$D_{BC}=\sqrt{\left(x_{c}-x_{b}\right)^{2}+\left(y_{c}-y_{b}\right)^{2}}\\ \\ D_{BC}=\sqrt{\left(6-5\right)^{2}+\left(2-5\right)^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

Agora que temos a área e a base, podemos calcular a altura h:
$A_{T}=\dfrac{b\cdot h}{2}\Rightarrow 7,5=\dfrac{\sqrt{10}\cdot h}{2}\Rightarrow 15=h\sqrt{10} \Rightarrow h=\dfrac{15}{\sqrt{10}} \Rightarrow\\ \\ \\ h=\dfrac{15}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\dfrac{15\sqrt{10}}{10}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$

Portanto, a alternativa é a letra c).