Question

A consideração necessária e suficiente para que A está contido em B, Bestá contido em C e C está contido em A é?
a) A =B = C = Conjunto vazio
b) A = C = Conjunto vazio
c) A = B = C
d) C = Conjunto vazio
e) A = C

Answer 1

(1) Uma definição da relação de igualdade entre conjuntos é

Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos. $A=B$, se e somente se $A \subset B$ e $B \subset A$.


(2) A relação de continência (ou inclusão) "está contido", é uma relação transitiva, ou seja

Se $A \subset B$ e $B \subset C$, então $A \subset C$.


Temos então a seguinte expressão:

$A \subset B\text{\;\;e\;\;}B \subset C \text{\;\;e\;\;} C \subset A$


Podemos escrever outra expressão equivalente a esta, simplesmente repetindo os termos da conjunção ("e"), não alterando o valor lógico da expressão:

$\left[\,\left(A \subset B\text{\;\;e\;\;}B \subset C \right )\text{\;\;e\;\;}C \subset A\right\,] \text{\;\;e\;\;} \left[\,\left(C \subset A \text{\;\;e\;\;} A \subset B \right )\text{\;\;e\;\;}B \subset C\right\,]\\ \\ \Rightarrow [\,A \subset C\text{\;\;e\;\;}C \subset A\right\,]\text{\;\;e\;\;}[\,C \subset B\text{\;\;e\;\;}B \subset C\right\,]\\ \\ \Rightarrow A=C\text{\;\;e\;\;}C=B\\ \\ \Rightarrow A=B=C$


Para que a condição seja necessária e suficiente, deve valer a ida e a volta (ou seja, devemos ter uma bi-implicação).


É imediato verificar que a volta também é válida, simplesmente observando a definição de igualdade entre conjuntos:

$A=B=C\\ \\ \Rightarrow A \subset B\text{\;\;e\;\;}B \subset C\text{\;\;e\;\;}C \subset A$


Logo, temos que

$A \subset B\text{\;\;e\;\;}B \subset C\text{\;\;e\;\;}C \subset A \Leftrightarrow A=B=C$


A resposta é a alternativa $\text{c) }A=B=C$.

Answer 2

Resposta:

A=B=C

espero ter ajudado