Question

A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de lado l, contido no plano α. Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano α está no semiplano de α determinado pela reta BC e que não contém o lado AD. Além disso, a face BPC é um triângulo isósceles de base BC cuja altura forma, com o plano α, um ângulo θ, em que 0<θ<π/2. Sendo PB=l√2/2, determine, em função de l e θ,

a) o volume do tetraedro PABCD;

b) a altura do triângulo APB relativa ao lado AB;

c) a altura do triângulo APD relativa ao lado AD.

Answer 1

De acordo com a figura, o sólido é uma pirâmide de vértice P e base quadrada ABCD de lado l e não um tetraedro, uma vez que o tetraedro tem quatro faces que são triangulares.

Onde:

Q é a projeção ortogonal de P sobre α
R é a projeção ortogonal de P sobre AB
M é a projeção ortogonal de P sobre BC (ponto médio de BC)
N é a projeção ortogonal de P sobre AD (ponto médio de AD)

I) No triângulo retângulo MPB, temos:
 
(MP)² + (MB)² = (PB)²

Logo, (MP)² + (l/2)² = $( \frac{l \sqrt{2} }{2} })^2$ ⇔ (MP)² = $\frac{ l^{2} }{4}$ ⇔ MP = $\frac{l}{2}$


II) No triângulo retângulo QMP, temos: senθ = PQ/MP

Desta forma: senθ = $\frac{PQ}{ \frac{l}{2} }$ ⇔ PQ = l senθ/2


III) O volume da pirâmide quadrangular PABCD é:
V = $\frac{( AB^{2}).PQ }{3}$

Logo, V = $\frac{ l^{2} }{3}$ . l senθ/2ο ⇔ V = l³ senθ/6


IV) No triângulo tretângulo QRP, temos:

(PR)² = (PQ)² + (QR)²

Logo, teremos: (PR)² = (l senθ/2)²  + (l/2)² ⇔ 
PR = l√1 + sen²θ/2


V) No triângulo retângulo QMP, temos: cosθ = MQ/MP

Logo, cosθ = $\frac{MQ}{ \frac{l}{2} }$ ⇔ MQ = l cosθ/2


VI) No triângulo retângulo QNP, temos: 
(PN)² = (NQ)² + (PQ)²

Logo, (PN)² = (l + l cosθ/2)² + (l senθ/2)² ⇔ 
⇔ (PN)² = l² (1 + cosθ + cos²θ/4 + sen²$θ ⇔  ⇔ <strong>PN = l [tex]\frac{ \sqrt{5 + 4cos} }{2}$θ

As respostas para a atividade proposta são:
a) l³ senθ/6
b) $\frac{l \sqrt{1 + sen^{2} } }{2}$θ
c) $\frac{l \sqrt{5 + 4cos} }{2}$θ