Question

A aresta lateral de uma pirâmide regular quadrangular mede 5 cm e o perímetro da base mede 12 (raiz quadrada de 2 cm). Determine o volume dessa pirâmide.

Answer 1

O perímetro da base mede 12√2 cm

O perímetro é a soma de todos os lados, como o quadrado tem 4 lados iguais:

$2P=12\sqrt{2}\\x+x+x+x=12\sqrt{2}\\4x=12\sqrt{2}\\x=12\sqrt{2}/4\\x=3\sqrt{2}~cm$

Descobrimos a aresta da base.
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Calculando a área da base:

$A_{b}=x^{2}\\A_{b}=(3\sqrt{2})^{2}\\A_{b}=3^{2}\sqrt{2^{2}}\\A_{b}=9*2\\A_{b}=18~cm^{2}$
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Calculando a altura da pirâmide:

Olhe a imagem que anexei. O triângulo retângulo tem catetos 'h' (altura da pirâmide), 'a' (apótema da base) e hipotenusa 'M' (apótema da pirâmide)

Calculando 'a':

$a=x/2\\a=(3\sqrt{2}/2)~cm$

Calculando M:

$5^{2}=M^{2}+(x/2)^{2}\\25=M^{2}+(x^{2}/2^{2})\\25=M^{2}+(18/4)\\25=M^{2}+(9/2)\\M^{2}=25-(9/2)\\M^{2}=(25*2/2)-(9/2)\\M^{2}=(50/2)-(9/2)\\M^{2}=(50-9)/2\\M^{2}=41/2$

Calculando h:

$M^{2}=h^{2}+a^{2}\\41/2=h^{2}+(x/2)^{2}\\41/2=h^{2}+(x^{2}/2^{2})\\41/2=h^{2}+(18/4)\\41/2=h^{2}+(9/2)\\h^{2}=(41/2)-(9/2)\\h^{2}=(41-9)/2\\h^{2}=32/2\\h^{2}=16\\h=\sqrt{16}\\h=4~cm$
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Finalmente, calculando o volume da pirâmide:

$v=A_{b}*h/3\\v=18*4/3\\v=6*4\\v=24~cm^{3}$